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北师大版七年级数学下册举一反三系列7.2期中期末专项复习之相交线与平行线十九大必考点同步学案(学生版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册举一反三系列7.2期中期末专项复习之相交线与平行线十九大必考点同步学案(学生版+解析)，共117页。
专题7.2 相交线与平行线十九大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7223" 【考点1 余角和补角的计算】 PAGEREF _Toc7223 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27553" 【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Toc27553 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27733" 【考点3 对顶角的识别及其性质】 PAGEREF _Toc27733 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17294" 【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】 PAGEREF _Toc17294 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32596" 【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Toc32596 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24413" 【考点6 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Toc24413 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc15911" 【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Toc15911 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14925" 【考点8 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Toc14925 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31930" 【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Toc31930 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20357" 【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Toc20357 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc3299" 【考点11 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Toc3299 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc26554" 【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc26554 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc16848" 【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Toc16848 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc18801" 【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Toc18801 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc12243" 【考点15 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Toc12243 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc2056" 【考点16 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Toc2056 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc5065" 【考点17 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Toc5065 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc20504" 【考点18 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Toc20504 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc26214" 【考点19 尺规作角】 PAGEREF _Toc26214 \h 29【考点1 余角和补角的计算】【例1】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度数．(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．【变式1-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是_______．【变式1-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)图中∠AOD的补角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．【变式1-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由．【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】【例2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【变式2-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点3 对顶角的识别及其性质】【例3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B．C． D．【变式3-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．(2)图中互补的角有 对，它们是 ．(3)求∠EOD的度数．【变式3-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【变式3-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】【例4】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【变式4-1】（2022·浙江台州·七年级期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大【变式4-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直同一条直线的两条直线平行D．垂线段最短【变式4-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】【例5】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角【变式5-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【变式5-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( )A．∠C与∠1是内错角B．∠2与∠3是内错角C．∠A与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角【变式5-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________【考点6 三线八角中的截线问题】【例6】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错角A．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截C．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截【变式6-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．【变式6-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】【例7】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【变式7-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；证明：∵AB∥CD，∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴______＝______=12∠BGE∵HN是∠DHG的平分线∴______＝______=12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．【变式7-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）【变式7-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求证：∠B＝∠D；(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．【考点8 直线旋转中的平行线的判定】【例8】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）A．28° B．56° C．62° D．84°【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°【变式8-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（ A．15° B．30° C．45° D．75°【变式8-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ）A．65° B．75° C．85° D．80°【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】【例9】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？ 【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC．解：因为DG//BA（已知），所以∠2=∠BAD（____________）．因为∠1=∠2（已知），所以______（等量代换），所以EF//______（____________）．所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）因为EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代换），所以______（垂直的定义）．【变式9-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD与BC平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．【变式9-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】【例10】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．【变式10-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．【变式10-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根据上述条件，解答下列问题：(1)证明：OC∥AB；(2)求∠EOB的度数；(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．【变式10-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出∠BOE的度数．(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°<α≤180°时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．【考点11 平行线的性质在生活中的应用】【例11】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【变式11-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明【变式11-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．【变式11-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】【例12】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．(1)如图1，若点F在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系；(2)若点F在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．【变式12-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．【变式12-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM，PN，满足∠MPN=∠MNP．(1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______．(2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并证明．【变式12-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作FG⊥FD交射线CB于点G．(1)如图1，点F在线段BE上，①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；②如图，求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】【例13】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．【变式13-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度数；(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且α＝60°时，证明：CE∥OA．【变式13-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．【变式13-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)证明：MN∥ST；(2)如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】【例14】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【变式14-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【变式14-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．（1）下列各图中的MA1与NAn平行．①图①中的∠A1+∠A2=______度．②图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度．③图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度．④图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度．⑤第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠A11=______度．⑥第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠An+1=______度．（2）下列各图中AB//CD．①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是______．②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是______．③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是______．【变式14-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80−2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【考点15 平行线在折叠问题的运用】【例15】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1−∠2=30° D．2∠1−3∠2=30°【变式15-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )A．60° B．70° C．80° D．90°【变式15-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．【变式15-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ． (2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．① 求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【考点16 平行线在三角尺中的运用】【例16】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t=______________秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．【变式16-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；【变式16-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<180°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．【变式16-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边AB与边DE平行．【考点17 平行线中的规律问题】【例17】（2022·山东泰安·期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=____________；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【变式17-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．【变式17-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【变式17-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N'的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分_________，BM'∥R1N'，求∠BR1N'的度数．（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM'与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM'与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．①第二次折叠时，∠BR2N'＝_____________（用α的式子表示）；②第n次折叠时，∠BRnN'＝____________（用α和n的式子表示）．【考点18 平行线中的转角问题】【例18】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘<α<360∘，请探究下列问题：(1)如图2，当旋转角满足0∘<α≤60∘时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；(2)如图3，当旋转角满足60∘<α≤120∘时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．【变式18-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含30°角的直角三角板AOB，其直角顶点O在直线l上，将三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转∠2的度数（0°<∠2<360°）．请你解决下列问题：(1)当∠2的度数为多少时，AB∥l（不必说理）；(2)如右图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．【变式18-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足a−3+b−12=0，(1)a=_____________，b=____________；(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t<60），两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求∠BAC与∠BCD的数量关系；(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t<160），若旋转中AM∥BP，求t的值．【变式18-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组4a+b=173a−2b=10．(1)求a，b的值；(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．【考点19 尺规作角】【例19】（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，已知△ABC和△DEF，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）(1)在图①中作∠BCM，使得∠BCM=105°；(2)在图②中作∠FEN，使得∠FEN=80°．【变式19-1】（2022春·福建三明·七年级校考期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【变式19-2】（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点． 专题7.2 相交线与平行线十九大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24459" 【考点1 余角和补角的计算】 PAGEREF _Toc24459 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18455" 【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Toc18455 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3149" 【考点3 对顶角的识别及其性质】 PAGEREF _Toc3149 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2445" 【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】 PAGEREF _Toc2445 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc10711" 【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Toc10711 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc24519" 【考点6 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Toc24519 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc7355" 【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Toc7355 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc8199" 【考点8 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Toc8199 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc9308" 【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Toc9308 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc30369" 【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Toc30369 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc1081" 【考点11 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Toc1081 \h 39 HYPERLINK \l "_Toc10155" 【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc10155 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc3160" 【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Toc3160 \h 52 HYPERLINK \l "_Toc5684" 【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Toc5684 \h 60 HYPERLINK \l "_Toc8743" 【考点15 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Toc8743 \h 70 HYPERLINK \l "_Toc13650" 【考点16 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Toc13650 \h 74 HYPERLINK \l "_Toc28222" 【考点17 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Toc28222 \h 79 HYPERLINK \l "_Toc10334" 【考点18 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Toc10334 \h 88 HYPERLINK \l "_Toc31423" 【考点19 尺规作角】 PAGEREF _Toc31423 \h 95【考点1 余角和补角的计算】【例1】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度数．(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．【答案】(1)59°(2)∠AOF和∠COE，31°【分析】（1）利用余角互余关系求得∠BOD，利用邻角补角关系求得∠AOD，进而人求得∠AOE；（2）利用等角的余角相等，求得与∠AOF相等的角，即求得∠BOF的补角．（1）∵ CO⊥AB，∴ ∠COA=90°，∴ ∠AOD=∠COA+∠1 =90°+28° =118°．∵OE平分∠AOD，∴ ∠AOE=12∠AOD=12×118°=59°．（2）与∠BOF互补的角是∠AOF和∠COE，因为OF⊥OE，∴ ∠EOF=90°，∴ ∠AOF=∠EOF=∠AOE=90°−59°=31°，∴ ∠BOF补角的度数是31∘ ．【点睛】本题考查余角、邻补角的定义，利用余角、邻补角的关系是解题关键．【变式1-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是_______．【答案】70°【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设这个角的度数为x,根据题意得：90°-x=15（180°-x）-2°，解得：x=70°．所以这个角的度数为70°．故答案为：70°【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键．【变式1-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)图中∠AOD的补角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE(2)50°【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；（2）根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC，再根据角平分线的定义即可得解．（1）解： ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠BOD=90°，∴∠BOD+∠EOC=90°，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．故答案为：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．（2）解：∵OD平分∠BOC，∠COD=40°，∴∠BOC=2∠COD=80°，由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−80°=100°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠AOC=50°．【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．【变式1-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由．【答案】（1）∠AOB=120°，其补角为60°；（2）∠DOE=60°，∠AOB=120°，∠DOE与∠AOB互补；（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由见解析.【分析】（1）由∠AOB=∠BOC+∠AOC，以及补角的定义，即可得到答案；（2）根据角平分线的定义，即可求出∠DOE和∠AOE的度数，然后∠DOE+∠AOB=180°，即可得到答案；（3）分别求出∠DOE与∠AOB的度数，然后进行判断，即可得到答案.【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其补角为：180°−∠AOB=180°−120°=60°． （2）∠DOE与∠AOB互补；理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=12∠BOC=12×70°=35°，∠COE=12∠AOC=12×50°=25°．∴∠DOE=∠DOC+∠COE =35°+25°=60°．∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE与∠AOB互补．（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=12∠BOC=12α，∠COE=12∠AOC=12β．∴∠DOE=∠DOC+∠COE =12α+12β=12（α+β）．∴∠DOE+∠AOB=12（α+β）+（α+β）=32（α+β），∴∠DOE与∠AOB不互补．【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，补角的定义，以及角的和差计算，解题的关键是熟练掌握几何图形中的角度的计算，熟练掌握所学的知识进行计算.【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】【例2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB=∠COD=90°即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正确；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，所以②正确；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵E、O、F三点共线，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．所以，正确的结论有3个．【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【答案】D【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得解．【详解】解：∵OB⊥AE,OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，∴图中互补的角有7对．故选：D．【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．【变式2-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据互余的概念和对顶角相等解答即可．【详解】∠EOC的余角有∠AOE，∠BOF，∠BOM，∠AON．故选D．【点睛】本题考查了垂线，对顶角的性质，关键是掌握互余的概念．【变式2-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据已知条件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用补角定义依次判断即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∴∠1+∠2=90°，∵直线b经过点O，∴∠2+∠3=180°，①180°−∠2；②∠3是等于∠2的补角的式子，∵2（∠1+∠2）=180°，∴∠2=180°-（2∠1+∠2），故③符合题意；∵∠3=180°-∠2，∠1=90°-∠2，∴2∠3−2∠1−∠2=2（180°-∠2）-2（90°-∠2）-∠2=180°−∠2，故④符合题意；∵180°−∠1+∠2≠180°，∴⑤不符合题意，【点睛】此题考查了补角的定义：相加得180度的两个角叫互为补角，根据图形对角度进行和差计算是解题的关键．【考点3 对顶角的识别及其性质】【例3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．【变式3-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．(2)图中互补的角有 对，它们是 ．(3)求∠EOD的度数．【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；（2）根据补角的定义进行判断即可；（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．（1）解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．（2）图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠COE+∠BOE=180°，∴∠EOC和∠EOB互补，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠AOE+∠EOD=180°，∴∠AOE和∠EOD互补．故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．（3）∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定义得，25x+25x+x＝180°，解得：x＝100°∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°，∴∠DOE＝100°+40°＝140°，答：∠EOD的度数为140°．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．【变式3-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【答案】65°【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根据垂线的性质可得∠EOD=90°，再进行解答即可．【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．【变式3-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【答案】(1)33(2)∠AOC的度数是72°【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．（1）∵∠AOC=76°，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=38°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−∠DOE=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=71°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE =71°−38° =33°故答案为：33；（2）设∠AOC=x°，∴∠BOD=∠AOC=x°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=12x°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−∠DOE=180°−12x°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=12180°−12x°°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36° ∴36°+12x°=12180°−12x°°，∴x=72°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些角相加得180度．【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】【例4】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误； 同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．【变式4-1】（2022·浙江台州·七年级期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大【答案】A【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．【详解】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，如图：过点A作AE⊥l与点E，交弧BC于点G，∴AD=AF>AE，AB=AG=AC，∴AB−AD=AC−AF
专题7.2 相交线与平行线十九大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc7223" 【考点1 余角和补角的计算】 PAGEREF _Toc7223 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27553" 【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Toc27553 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27733" 【考点3 对顶角的识别及其性质】 PAGEREF _Toc27733 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17294" 【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】 PAGEREF _Toc17294 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32596" 【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Toc32596 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24413" 【考点6 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Toc24413 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc15911" 【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Toc15911 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14925" 【考点8 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Toc14925 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31930" 【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Toc31930 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20357" 【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Toc20357 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc3299" 【考点11 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Toc3299 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc26554" 【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc26554 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc16848" 【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Toc16848 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc18801" 【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Toc18801 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc12243" 【考点15 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Toc12243 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc2056" 【考点16 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Toc2056 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc5065" 【考点17 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Toc5065 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc20504" 【考点18 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Toc20504 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc26214" 【考点19 尺规作角】 PAGEREF _Toc26214 \h 29【考点1 余角和补角的计算】【例1】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度数．(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．【变式1-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是_______．【变式1-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)图中∠AOD的补角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．【变式1-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由．【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】【例2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【变式2-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点3 对顶角的识别及其性质】【例3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B．C． D．【变式3-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．(2)图中互补的角有 对，它们是 ．(3)求∠EOD的度数．【变式3-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【变式3-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】【例4】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【变式4-1】（2022·浙江台州·七年级期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大【变式4-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直同一条直线的两条直线平行D．垂线段最短【变式4-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】【例5】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角【变式5-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【变式5-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( )A．∠C与∠1是内错角B．∠2与∠3是内错角C．∠A与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角【变式5-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________【考点6 三线八角中的截线问题】【例6】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错角A．直线AD、BC被直线BD所截 B．直线AB、CD被直线BD所截C．直线AB、CD被直线AC所截 D．直线AD、BC被直线AC所截【变式6-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．【变式6-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】【例7】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代换）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【变式7-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；证明：∵AB∥CD，∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴______＝______=12∠BGE∵HN是∠DHG的平分线∴______＝______=12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．【变式7-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）【变式7-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求证：∠B＝∠D；(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．【考点8 直线旋转中的平行线的判定】【例8】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）A．28° B．56° C．62° D．84°【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°【变式8-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（ A．15° B．30° C．45° D．75°【变式8-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ）A．65° B．75° C．85° D．80°【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】【例9】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？ 【变式9-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC．解：因为DG//BA（已知），所以∠2=∠BAD（____________）．因为∠1=∠2（已知），所以______（等量代换），所以EF//______（____________）．所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）因为EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代换），所以______（垂直的定义）．【变式9-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD与BC平行吗？为什么？（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．【变式9-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】【例10】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．【变式10-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．【变式10-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根据上述条件，解答下列问题：(1)证明：OC∥AB；(2)求∠EOB的度数；(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．【变式10-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出∠BOE的度数．(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°<α≤180°时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．【考点11 平行线的性质在生活中的应用】【例11】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【变式11-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明【变式11-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．【变式11-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】【例12】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．(1)如图1，若点F在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系；(2)若点F在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．【变式12-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．【变式12-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM，PN，满足∠MPN=∠MNP．(1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______．(2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并证明．【变式12-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作FG⊥FD交射线CB于点G．(1)如图1，点F在线段BE上，①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；②如图，求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】【例13】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．【变式13-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度数；(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且α＝60°时，证明：CE∥OA．【变式13-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．【变式13-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)证明：MN∥ST；(2)如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】【例14】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【变式14-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【变式14-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．（1）下列各图中的MA1与NAn平行．①图①中的∠A1+∠A2=______度．②图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度．③图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度．④图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度．⑤第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠A11=______度．⑥第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠An+1=______度．（2）下列各图中AB//CD．①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是______．②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是______．③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是______．【变式14-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80−2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【考点15 平行线在折叠问题的运用】【例15】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1−∠2=30° D．2∠1−3∠2=30°【变式15-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )A．60° B．70° C．80° D．90°【变式15-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．【变式15-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ． (2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．① 求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．【考点16 平行线在三角尺中的运用】【例16】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t=______________秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．【变式16-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；【变式16-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<180°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．【变式16-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边AB与边DE平行．【考点17 平行线中的规律问题】【例17】（2022·山东泰安·期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=____________；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【变式17-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．【变式17-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？【变式17-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N'的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分_________，BM'∥R1N'，求∠BR1N'的度数．（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM'与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM'与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．①第二次折叠时，∠BR2N'＝_____________（用α的式子表示）；②第n次折叠时，∠BRnN'＝____________（用α和n的式子表示）．【考点18 平行线中的转角问题】【例18】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘<α<360∘，请探究下列问题：(1)如图2，当旋转角满足0∘<α≤60∘时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；(2)如图3，当旋转角满足60∘<α≤120∘时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．【变式18-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含30°角的直角三角板AOB，其直角顶点O在直线l上，将三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转∠2的度数（0°<∠2<360°）．请你解决下列问题：(1)当∠2的度数为多少时，AB∥l（不必说理）；(2)如右图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．【变式18-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足a−3+b−12=0，(1)a=_____________，b=____________；(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t<60），两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求∠BAC与∠BCD的数量关系；(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t<160），若旋转中AM∥BP，求t的值．【变式18-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组4a+b=173a−2b=10．(1)求a，b的值；(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．【考点19 尺规作角】【例19】（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，已知△ABC和△DEF，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）(1)在图①中作∠BCM，使得∠BCM=105°；(2)在图②中作∠FEN，使得∠FEN=80°．【变式19-1】（2022春·福建三明·七年级校考期中）作图题，如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【变式19-2】（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点． 专题7.2 相交线与平行线十九大必考点【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24459" 【考点1 余角和补角的计算】 PAGEREF _Toc24459 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18455" 【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Toc18455 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3149" 【考点3 对顶角的识别及其性质】 PAGEREF _Toc3149 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2445" 【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】 PAGEREF _Toc2445 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc10711" 【考点5 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Toc10711 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc24519" 【考点6 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Toc24519 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc7355" 【考点7 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Toc7355 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc8199" 【考点8 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Toc8199 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc9308" 【考点9 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Toc9308 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc30369" 【考点10 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Toc30369 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc1081" 【考点11 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Toc1081 \h 39 HYPERLINK \l "_Toc10155" 【考点12 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Toc10155 \h 45 HYPERLINK \l "_Toc3160" 【考点13 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Toc3160 \h 52 HYPERLINK \l "_Toc5684" 【考点14 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Toc5684 \h 60 HYPERLINK \l "_Toc8743" 【考点15 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Toc8743 \h 70 HYPERLINK \l "_Toc13650" 【考点16 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Toc13650 \h 74 HYPERLINK \l "_Toc28222" 【考点17 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Toc28222 \h 79 HYPERLINK \l "_Toc10334" 【考点18 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Toc10334 \h 88 HYPERLINK \l "_Toc31423" 【考点19 尺规作角】 PAGEREF _Toc31423 \h 95【考点1 余角和补角的计算】【例1】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分线，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度数．(2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数．【答案】(1)59°(2)∠AOF和∠COE，31°【分析】（1）利用余角互余关系求得∠BOD，利用邻角补角关系求得∠AOD，进而人求得∠AOE；（2）利用等角的余角相等，求得与∠AOF相等的角，即求得∠BOF的补角．（1）∵ CO⊥AB，∴ ∠COA=90°，∴ ∠AOD=∠COA+∠1 =90°+28° =118°．∵OE平分∠AOD，∴ ∠AOE=12∠AOD=12×118°=59°．（2）与∠BOF互补的角是∠AOF和∠COE，因为OF⊥OE，∴ ∠EOF=90°，∴ ∠AOF=∠EOF=∠AOE=90°−59°=31°，∴ ∠BOF补角的度数是31∘ ．【点睛】本题考查余角、邻补角的定义，利用余角、邻补角的关系是解题关键．【变式1-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的补角的15还少2°，则这个角的度数是_______．【答案】70°【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设这个角的度数为x,根据题意得：90°-x=15（180°-x）-2°，解得：x=70°．所以这个角的度数为70°．故答案为：70°【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键．【变式1-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)图中∠AOD的补角是 和 ；∠BOD的余角是 和 ．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度数．【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE(2)50°【分析】（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；（2）根据角平分线的定义表示出∠BOC与∠AOC，再根据角平分线的定义即可得解．（1）解： ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠BOD=90°，∴∠BOD+∠EOC=90°，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．故答案为：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．（2）解：∵OD平分∠BOC，∠COD=40°，∴∠BOC=2∠COD=80°，由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=180°−80°=100°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠AOC=50°．【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．【变式1-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由．【答案】（1）∠AOB=120°，其补角为60°；（2）∠DOE=60°，∠AOB=120°，∠DOE与∠AOB互补；（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由见解析.【分析】（1）由∠AOB=∠BOC+∠AOC，以及补角的定义，即可得到答案；（2）根据角平分线的定义，即可求出∠DOE和∠AOE的度数，然后∠DOE+∠AOB=180°，即可得到答案；（3）分别求出∠DOE与∠AOB的度数，然后进行判断，即可得到答案.【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其补角为：180°−∠AOB=180°−120°=60°． （2）∠DOE与∠AOB互补；理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=12∠BOC=12×70°=35°，∠COE=12∠AOC=12×50°=25°．∴∠DOE=∠DOC+∠COE =35°+25°=60°．∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE与∠AOB互补．（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠DOC=12∠BOC=12α，∠COE=12∠AOC=12β．∴∠DOE=∠DOC+∠COE =12α+12β=12（α+β）．∴∠DOE+∠AOB=12（α+β）+（α+β）=32（α+β），∴∠DOE与∠AOB不互补．【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，补角的定义，以及角的和差计算，解题的关键是熟练掌握几何图形中的角度的计算，熟练掌握所学的知识进行计算.【考点2 同（等）角的余角和补角相等的运用】【例2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，点E为OF反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC−∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB=∠COD=90°即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正确；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，所以②正确；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵E、O、F三点共线，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．所以，正确的结论有3个．【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．【变式2-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，AOE是一条直线，OB⊥AE,OC⊥OD，图中互补的角有（ ）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【答案】D【分析】根据已知条件得到∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，即可得到三个直角两两互补，进而得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据补角的定义和等量代换即可得到四对互补的角，问题得解．【详解】解：∵OB⊥AE,OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=∠BOE=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∠AOB+∠BOE=180°，∠COD+∠BOE=180°，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠COE=180°，∠3+∠COE=180°，∠4+∠AOD=180°，∠2+∠AOD=180°，∴图中互补的角有7对．故选：D．【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，同角（等角）的余角相等等知识，熟知相关知识是解题关键，注意解题时不要忘记所有直角都互补．【变式2-2】（2022·河北秦皇岛·七年级期中）如图，已知直线AB、CD、EF、MN相交于点O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，图中∠EOC的余角的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据互余的概念和对顶角相等解答即可．【详解】∠EOC的余角有∠AOE，∠BOF，∠BOM，∠AON．故选D．【点睛】本题考查了垂线，对顶角的性质，关键是掌握互余的概念．【变式2-3】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）如图，∠AOB=90°，直线b经过点O．在下面的五个式子中：①180°−∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3−2∠1−∠2；⑤180°−∠1，等于∠2的补角的式子的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据已知条件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用补角定义依次判断即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∴∠1+∠2=90°，∵直线b经过点O，∴∠2+∠3=180°，①180°−∠2；②∠3是等于∠2的补角的式子，∵2（∠1+∠2）=180°，∴∠2=180°-（2∠1+∠2），故③符合题意；∵∠3=180°-∠2，∠1=90°-∠2，∴2∠3−2∠1−∠2=2（180°-∠2）-2（90°-∠2）-∠2=180°−∠2，故④符合题意；∵180°−∠1+∠2≠180°，∴⑤不符合题意，【点睛】此题考查了补角的定义：相加得180度的两个角叫互为补角，根据图形对角度进行和差计算是解题的关键．【考点3 对顶角的识别及其性质】【例3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意；B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意．【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断．【变式3-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．(2)图中互补的角有 对，它们是 ．(3)求∠EOD的度数．【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD(3)140°【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；（2）根据补角的定义进行判断即可；（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．（1）解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．（2）图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠COE+∠BOE=180°，∴∠EOC和∠EOB互补，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠AOE+∠EOD=180°，∴∠AOE和∠EOD互补．故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．（3）∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定义得，25x+25x+x＝180°，解得：x＝100°∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°，∴∠DOE＝100°+40°＝140°，答：∠EOD的度数为140°．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．【变式3-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【答案】65°【分析】根据角平分线的定义可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根据垂线的性质可得∠EOD=90°，再进行解答即可．【详解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．【变式3-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【答案】(1)33(2)∠AOC的度数是72°【分析】（1）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，求出∠EOF和∠EOB的度数，再根据角的和差即可得∠BOF的度数；（2）根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根据角分线的定义，列出等式即可求得结果．（1）∵∠AOC=76°，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=38°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−∠DOE=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=71°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE =71°−38° =33°故答案为：33；（2）设∠AOC=x°，∴∠BOD=∠AOC=x°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=12x°，∵∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=180°−∠DOE=180°−12x°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠COF=12180°−12x°°，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36° ∴36°+12x°=12180°−12x°°，∴x=72°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些角相加得180度．【考点4 点到直线的距离、垂线段最短】【例4】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误； 同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．【变式4-1】（2022·浙江台州·七年级期中）如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大【答案】A【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．【详解】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，如图：过点A作AE⊥l与点E，交弧BC于点G，∴AD=AF>AE，AB=AG=AC，∴AB−AD=AC−AF
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