专题06 反比例函数中的平行四边形-【微专题】最新九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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专题06 反比例函数中的平行四边形
1．如图，在第一象限内，A是反比例函数图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若，则这两个反比例函数可能是（    ）

A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】设A（a，），B（a，），然后求出AB的长，进而求得CD的长，然后根据求得a的值，进而确定k1-k2=7，最后结合选项即可解答．
【详解】解：设A（a，），B（a，），k1＞0、k2＜0，
∴AB=-=，
∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=，
∵，
∴CD·a=7，即·a=7，
∴=7，
结合选项可得B选项符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出=7是解答本题的关键．
2．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是____．

【答案】9
【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D也用a、b表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a、b，再由点坐标求出k的值．
【详解】解：∵，，
∴A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
根据平行四边形的性质，D也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
∵，∴，
∵，
∴，，
∵C、D都在反比例函数图象上，
∴它们横纵坐标的乘积相等，即，解得，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（x＜0）的图像上一点，点B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作平行四边形ABCO，若点C和BC的中点D都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k的值是___________．

【答案】
【分析】作轴，轴，轴，证，设，则，；因为轴，D是BC的中点，由即可求解；
【详解】解：∵作轴，轴，轴，

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，，；
∵轴，D是BC的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
都答案为：-8．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
4．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为__．

【答案】（，）
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质假设出点坐标，进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．
【详解】解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
点在直线上，
设点坐标为：，
点，，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
四边形是平行四边形，
点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到点，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（负数不合题意），
故点坐标为：（，）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出点坐标是解题的关键．
5．如图，分别过反比例函数图像上的点P1（1，y1），P2（1+2，y2），P3（1+2+3，y3），．．．，Pn（1+2+3+．．．+n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，．．．，An，连接A1P2，A2P3，A3P4，．．．，An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B2的纵坐标是__________；点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为__________．

【答案】         
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是，再求和整理即可．
【详解】∵点P1(1，y1)，P2(1+2，y2)在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴ ,
∴点B1的纵坐标是：．
∵点P3(1+2+3，y3) 在反比例函数的图象上，
∴,
∴点B2的纵坐标是：．
∵点P4(1+2+3+4，y4) 在反比例函数的图象上，
∴,
∴点B3的纵坐标是：．
…
∴点Bn的纵坐标是：


∴点B1，B2，．．．，Bn的纵坐标之和为



．
故答案为，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标为yn+1+yn．

三、解答题(共0分)
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与双曲线y=-交于点M（-4，m）、N（n，-4），与x轴交于A．

(1)求k、b的值；
(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；
②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
【答案】(1)k=-1，b=-2；
(2)①作图见解析 ；②点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．

【分析】（1）先求出点M和点N的坐标，再待定系数法求解析式即可；
（2）①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点B和点C坐标，即可画出平移后的直线；
②分情况讨论：当CA，CB为边时，当BC，BA为边时，当AC，AB为边时，分别根据平行四边形的性质即可求出点P坐标．
（1）
解：把x=-4，y=m代入y=-中，得m=-=2，
∴点M（-4，2），
把x=n，y=-4代入y=-中，得n=-=2，
∴点N（2，-4），
∴将点M（-4，2），点N（2，-4）代入y=kx+b中，
得，
解得，
∴k=-1，b=-2；
（2）
解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，
将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
当y=-x+2=0时，x=2，
∴点B坐标为（2，0），
平移后的直线如图所示：

②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），
分情况讨论：
当CA，CB为边时，且AP=CB，
∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），
∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），
点P坐标为（0，-2）；
当BC，BA为边时，且AP=CB，
同理可得点P坐标为（-4，2）；
当AC，AB为边，且AC=BP，
同理可得点P坐标为（4，2），
综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
7．综合与探究
如图，已知，，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．

(1)证明四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)已知在的图象（）上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)

【分析】（1）由A（0,4），B（-3,0），C（2,0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；
（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．
（1）证明：∵，，，∴，，，∴，，∴，∵为点关于的对称点，∴，，∴，∴四边形为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点，∴4=，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：；
（3）∵四边形是平行四边形，∴，，∴是经过平移得到的，∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，∵M点在y轴正半轴，∴M点的横坐标为0，∴即根据平移可知点的横坐标为3，代入，得，即N点坐标为，∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：，∴点的坐标为．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．
8．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为．    
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）过点作轴，垂足为点，设点在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于，请求出点的坐标；
（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN//x轴，交反比例函数的图象于点N，若以B、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）P（3，2） 或 P（－3，－2）；（3）点M点坐标为：；；；
【分析】（1）先将点A（2，m）代入反比例函数求得A的坐标，然后代入，求得k的值即可；
（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC＝6，即可求得x，y的值；
（3）设M（2y-4,y）,N(,y)，根据平行四边形的性质可得，解出y即可求解．
【详解】（1）∵一次函数的图象经过点A（2，m），
∴m＝3．
∴点A的坐标为（2，3）．
∵反比例函数的图象经过点A（2，3），
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为．
（2）令x＋2＝0，解得x＝−4，即B（−4，0）．
∵AC⊥x轴，
∴C（2，0）．
∴BC＝6．
设P（x，y），
∵S△PBC＝•BC•|y|＝6，
∴y1＝2或y2＝−2．
分别代入中，
得x1＝3或x2＝−3．
∴P（3，2）或P（−3，−2）．
（3）∵MN∥OB,故M,N的纵坐标相同，
∵M是直线AB上一动点，N在反比例函数的图象上，
设M（2y-4,y）,N(,y)，
依题意可得
当时，
解得y1=2+,y2=2-,
∴；
当时，
解得y1=，y2=-,
∴；
综上，点M点坐标为：；；；．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解析式是解此题的关键．
9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求的面积；
(3)直线a经过点且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析为y=，一次函数解析式为y=-2x+8
(2)8
(3)M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）

【分析】（1）由A点坐标可求得m的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点D，求出D点的坐标，分别求出△AOD和△BOD的面积，即可确定△AOB的面积；
（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论，AB、AM、AN分别为平行四边形的对角线，列出相应方程式解得即可．
（1）
解：∵反比例函数y=的图像过A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数解析为y=，
把x=3代入可得n=2，
∴B（3，2），
设直线AB解析式为，
把A、B坐标代入可得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）
解：设直线AB与x轴的交点为D，
令y=0，得-2x+8=0，
解得x=4，
∴D（4，0），
∴，，
∴；

（3）
解：点M在直线a上，点N在y轴上，
设M（m，1），N（0，n），
①当AB为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（4，1），N（0，7）；
②当AM为为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（2，1），N（0，5）；
③当AN为为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴M（-2，1），N（0，-3）；
综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M、N的位置是解题的关键．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
（1）
解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
（2）
解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
（3）
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
11．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．

(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为：，，

【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．
（1）
∵点在反比例函数的图象上，
，解得：，
∴反比例函数的表达式是：；
在反比例函数的图象上，
，
，
将点，代入，可得：，
解得：，
∴一次函数表达式是：；
（2）
由（1）知，直线的解析式为，则，，
；
（3）
如图所示：

当且时，则，
，
点坐标为；
当且时，则，
，
点坐标为：；
当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，
点坐标为：
综上所述：点的坐标为：，，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝2x﹣4（k≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．

(1)求A、B的坐标．
(2)当x为何值时，2x﹣4＞？
(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）
(2)x＞3或﹣1＜x＜0
(3)32

【分析】（1）联立y1=2x-4（k≠0）和y2=，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当四边形ABCD是平行四边形，则（xA-xB）2=（xC-xD）2，求出直线AB平移的距离为8，由S四边形ABCD=AB•EH，即可求解．
（1）
解：联立y1＝2x﹣4（k≠0）和y2＝，得
，
解得：或，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）；
（2）
解：由图象得，当x>3或﹣1