2024九年级数学人教版第26章反比例函数学案

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第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数一、问题引入： 1、思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km h/ ）随此次列车的全程运行时间（单位：h）的变化而变化；住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽 y（单位：m）的变化而变化；已知北京市的总面积为1.68 10 4km2，人均占有面积s（单位：km2 /人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化. 二、新知学习：反比例函数：________________________________________________________________叫做反比例函数，其中_______是自变量，________函数.自变量的取值范围是 . 概念辨析：练习下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？ y 2 1（1）y= 4x；（2）x = 3；（3）y=− 3 x；（4）y= x2 ；（5）xy=123； 3 k −1；（9）y= 1 ；（10）x=1 . （6）y=−；（7）y=；（8）y=3x 2x x x+3 y 小结：反比例函数的解析式的不同形式：三、例题分析：例 1 已知y是x的反比例函数，并且当x= 2时，y= 6．写出y关于x的函数解析式；当x= 4时，求y的值. 例 2 若反比例函数y= (k 0) 的图象与一次函数y= −2x 4 的图象都过点A m( ， 2) . （1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式. k例 3 已知一次函数y = − +x a 2的图象与反比例函数y= (k 0) 的图象相交. x判断一次函数的图象是否经过点(k， 1)；若一次函数的图象过点(k， 1)，且2a k+ =5，求反比例函数的解析式. 例 4 已知y= +1 2 ，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，并且x=1时，y= 0；x= 4时，y= 9. 求x=−1时，y的值. 四、反馈检测： 2下列各点在函数y=− 的图象上的是（） x 4 33 4A. （− −，） B. （− ） C. （，− ） D. （） 3 24 3k= 时，函数y= +(k 2)xk2+ −2 1k 是反比例函数. 已知y是关于x的正比例或反比例函数，并且其部分对应数据如下表所示，试确定 y 关于 x 的函数解析式，并补全表格. 26.1.2 反比例函数的图象和性质（一）一、复习提问：形如什么样的函数是反比例函数？反比例函数的自变量取值范围是多少？对应的函数值的取值范围是多少？二、新知学习： 1、思考：由反比例函数的解析式，想象它的图象，位于第几象限？与坐标轴有无交点？图象是上升还是下降的？函数值随自变量的增大而增大？还是减小？ 2、与一次函数类比：一次函数y kx b= + （k 0）的图象是什么形状？怎么画函数图象？一次函数有怎样的性质？ 3、画反比例函数图象： 6 12画出反比例函数y=和y=的图象． x x 6 12观察反比例函数y= 和y= 的图象，它们有哪些特征？ x x 6 6反比例函数y=与y=−的解析式有什么共同特征？有什么不同点？图象一样吗？为什么？ x x k取不同的值时，上述结论是否依然成立？ 4、请你总结完成下表：三、巩固练： k已知反比例函数y= 的图象过点（2， 1），则它的图象在______象限，每个象限内，y随x的增大 x而 . k点A x y（ 1, 1），B x y（ 2, 2）在反比例函数y= （k＜0）的图象上，且x x1＜ 2＜0，则y y1 − 2 0. xk已知反比例函数y= （k 0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y kx k= − 的 x图象经过（） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限四、例题分析： m−5例 1 如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题： x图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是多少？在这个函数图象上有两点A x y（ 1, 1），B x y（ 2, 2），若x x1＞ 2，则y y1、 2有怎样的大小关系？五、反馈练： k反比例函数y= 的图象经过点（2 ，5），若点（1 ，n）在反比例函数图象上，则n= . x 若反比例函数y=（2m−1）xm2−2的图象在第二、四象限，则m= . 3、正比例函数ykx=和反比例函数yx=在同一坐标系内的图象为（） k A B C D 六、小结：反比例函数与正比例函数的区别 26.1.2 反比例函数的图象和性质（二）一、复习提问：反比例函数有几种表达形式？反比例函数的图象是什么形状？解析式中的比例系数k对函数图象有什么影响？反比例函数有怎样的性质？ k练习：（1）反比例函数y=的图象经过点（1 ，-2），则k= . x4关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） xA. 必经过（1 ，1） B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 两个分支关于原点成中心对称 2k−1若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 . x二、例题分析： k例 1 （1）反比例函数y= 的图象过点（− −1 ， 2），当x＞1时，函数值y的取值范围是 . x− −k 2 1（2）已知点（−1 ，y1），（2 ，y2），（3 ，y3）在反比例函数y=的图象上，则y y y1、 2、 3的大小关 x系是 . 4例 2 已知反比例函数y=，则 x当−3 x −1时，反比例函数y的取值范围是_____________．当1 x 3时，反比例函数y的取值范围是_____________．当x 2时，反比例函数y的取值范围是_____________．当x−1时，反比例函数y的取值范围是_____________．当−3 x 1且x 0时，反比例函数y的取值范围是_____________．当反比例函数y的取值范围是−3 y 1且y  0时，自变量x的范围是_____________． 9例 3 （1）函数y x1 = （x0），y2 = （x＞0）的图象如图所示，则结论： x两函数图象的交点A的坐标是（3 ，3）；当x＞3时，y y2＞ 1；当x=1时，BC=8；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小. 其中正确结论的序号是 . 1−k（2）函数y=的图象与直线y x= 没有交点，那么k的取值范围是 . xk例 4 如图，已知反比例函数y= 与一次函数y x b= + 的图象在第一象限相交于A（1 ，− +k 4）. x求这两个函数的解析式；求出两个函数图象的另一个交点坐标，并根据图象写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围. 三、练习巩固： ab已知一次函数y ax b= + 的图象经过第一、二、四象限，则函数y= 的图象位于第象限. x m如图，一次函数y kx b= + （k 0）的图象与反比例函数y= （m 0）的图象交于A B、两点， x且点B的纵坐标为，过点A作AC x⊥ 轴于点C，AC=1，OC= 2 .分别求一次函数和反比例函数的解析式；并求△ABC的面积. 26.1.4 反比例函数k的几何意义复习提问：反比例函数解析式中的 k 对图象和函数有什么影响？新知学习： 1、探究思考： 3已知反比例函数y=的图象上有一点 P（2，n），作 PA⊥y 轴，PB⊥x 轴， x得到的四边形 OAPB 形状是怎样的？面积是多少？连接 OP，则△OAP和△OBP的面积是多少？变式 1：上述条件都不变，只将点 P 的坐标改为（m，n）上述问题中的结论改变吗？为什么？ kyxOQCBAP变式 2：已知反比例函数y= (k 0)的图象上有一点 P（m，n），其余条件同问题， x问结论改变吗？为什么？变式 3：将变式 2 中的条件k0改为k0呢？改为k 0呢？小结：你有什么结论？巩固练习： k如图，点 P 在反比例函数y= (k 0) 图象上第二象限内的一点，且矩形 OFPE 的面积为 3，则反 x比例函数的表达式是_________ k如图，AB⊥x 轴，点 A 在y= (k 0且x 0) 的图象上，若△AOB 的面积为 2，则 k=________ x1如图，过函数y= (x 0)的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、 xOB，设△AOC和△BOD的面积分别是S S1和 2，则S S1和 2的值分别为；若图中△AOP与梯形 PCDB 的面积分别记为S S3和 4，则S3 S4（填“>”“<”或“=”）. k反比例函数y= 的图象如图所示，k 的值可能为（） xA．-4 B．4 C．6 D．8 三、例题分析： 6例 1 如图，反比例函数y= (x 0) 的图象上有两个点 A(m，6)，B(3，n)， x求△AOB的面积. 补充练习： 1 k1. 如图,已知直线y=x与双曲线y= (k0)交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4． 2 x求 k 的值； k若双曲线y= (k0)上一点 C 的纵坐标为 8，求△ AOC 的面积； x 4 2ABP1CO2C如图，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设 x x点 P 在C1上，PA x⊥ 轴于点 A，交C2于点 B，则△POB 的面积为 . k 1 k两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象如图所示，点P在y= 的图 xxx11k象上，PC⊥x轴于点C，交y= 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y= 的图象于点B，当点P在y= 的 x x x 图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形 PAOB 的面积不会发生变化，其面积值总为 k-1； ③PA 与 PB 始终相等； ④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．其中一定正确的是（写正确结论的序号）．注意：下列变式图中，哪些可以直接应用结论？ xyCAOxyDOCBAxyOCBA 26.2.1 实际问题与反比例函数(一) 一、例题分析：例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室．储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？当施工队按（2）中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？例 2 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系？由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？例 3 公元前 3 世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？问题 1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m．动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？问题 2 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S（m2）的变化，人和木板对地面的压强 p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，那么木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函数关系？当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？二、课堂反馈：已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）. h a O h a O h a O h a O x y A． B． C． D． 12 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y，，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（） 12 26.2.2 实际问题与反比例函数(二) 一、例题分析：近视眼镜的度数 y (度)与镜片焦距 x (米)成反比例. 已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25 米，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式是 . 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压 P (千帕)是气球的体积 V(米 3)的反比例函数，其图象如图所示 (千帕是一种压强单位). ①求出这个函数的解析式； ②当气球的体积为 0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？ ③当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例(如图所示)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为___________，自变量 x 的取值范围是_____________；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_________________. ②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______ 分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x 元与日销售量 y 个之间有如下关系： ①请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； ②设经营此贺卡的销售利润为 W 元，试求出 W（元）与 x（元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过 10/个，请你求出当日销售单价 x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 5.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（℃）随时间 x（小时）变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：恒温系统在这天保持大棚内温度 18℃的时间有多少小时？求 k 的值；当 x=16 时，大棚内的温度约为多少度？二、小结： 26.2.3 函数与方程、函数与几何图形综合一、例题分析：（一）用函数的方法解决方程、不等式的有关问题 2例 1 如图，是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=的图象， x2则关于 x 的方程 kx+b= 的解为（） xl2mx A．xl=1，x2=2 B．xl=1，x2= -2 C．xl= -2，x2= -1 D．x =2， x = -1 例 2 如图，已知 HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h A HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h ( 4 HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h − HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h ， HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h n HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h ) HYPERLINK "http://www.mathschina.com/" \h ，B(2，−4) 是一次函数y kx b= + 的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积； m(3)求方程kx+b− =0的解（请直接写出答案）； xm(4)求不等式kx+b− 0的解集（请直接写出答案）. x 例 3 不解方程，判断下列方程解的个数. 1 1 ① +4x=0 ② −4x=0 x x 1例 4 若x ，则x的取值范围是____________． x1 若x ，则x的取值范围是____________． x y 1 x O A B C （二）函数与几何图形综合例 1 如图，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点 A 在直 y=x上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC 分别平行于 x 轴、y 轴，若双k曲线y= (k≠0)与ABC有交点，则 k 的取值范围是（） xA．1 k 2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k 4 1 kxyBAO 例 2 如图，已知直线y x与双曲线y=(k0)交于A B，两点，且点A的横坐标为4． x(1)求k的值； (2)直接写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围； k(3)若双曲线y=(k0)上一点C的纵坐标为 8，求△AOC的面积. x HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h kxyPBAO例 3 如图，直线 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h y HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h =− HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h x HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h + HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h b HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h （ HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h b HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h ＞0）与坐标轴交于 A、B 两点， P 是双曲线 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h y HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h = HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h （ HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h k HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h ＞0）上一点， HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h x且 PO=PB. (1)试用 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h k HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h 、 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h b HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" \h 表示 A、P 两点的坐标； (2)若△POB 的面积等于 1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式. 例 4 已知直角三角形 OAB 在直角坐标系中的位置如图，∠OAB=90°，∠AOB=30°，点 A 的坐标为（−3,3 ），点 B 的坐标为（－4，0）. (1)若将三角形OAB沿 x 轴向右平移 a 个单位，此时点 A 恰好落在反比例函数y=6 3的图象上，求 a 的值； xk(2)若将三角形OAB绕点 O 旋转 30°，点 B 恰好落在反比例函数y= 的图象上，求 k 的值． x yxABO 二、小结： 26.2.4 反比例函数小结复习提问： 1.举例说明什么是反比例函数. k2.反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象是什么样的？反比例函数有什么性质？ x 3.函数是描述现实世界变化规律的数学模型，反比例函数描述的变化规律是怎样的？ 4.与正比例函数、一次函数的图象相比，反比例函数图象特殊在哪儿？ 5．你能举出现实生活中运用反比例函数性质的实例吗？表格对照：知识结构图：例题分析：例 1 下列函数中是反比例函数的有． 5 x x 6（1）y= x （2）y= −5 x （3）y= 2 （4）xy= 2 （5）y= （6）y= 2 x（7）y= 2x−1 （8）y=−2 （9）y= 2a（a为常数，且a 0）（10） y=1+ 1 x2 5x x 2 例 2 k 为何值时，函数 y=（k2 +k x） k k2− −3 是反比例函数？ 1 2例 3 如图，两个反比例函数 y= 和 y=− 的图象分别是 l1 和 l2． x x设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A；PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2 于点 B，则△PAB 的面积为（）． A．3 B．4 C． D．5 例 4 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C，D 两点，与坐标轴交于 A、B 两点，连接 OC，OD（O 是坐标原点）．利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值；双曲线上是否存在一点 P，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明，并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．拓展选用： 1.如图，OABC 是平行四边形，对角线 OB 在 y 轴正半轴上，位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在k1 和y= k2 的一支上，分别过点 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M 和 N，则有以下的结论：双曲线y= x xAM k1① = ； CN k2②阴影部分面积是 (k1+k2)； ③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）． 162.已知，A、B、C、D、E 是反比例函数y=（x>0）图像上五个整数 x点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含 π 的代数式表示）． 3.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=(x>0)的图象 G 经过点 A(4，1)，直线 l:y =+b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点 C. 求 k 的值；横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA，OC，BC 围成的区域(不含边界)为 W. ①当 b= -1 时，直接写出区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围. x … -4 -3 -2 -1 2 3 4 … y … 6 -18 -9 … 函数图象形状图象位置图象变化趋势函数值增减规律对称性 ky= x k＞0 k＜0 正比例函数反比例函数解析式自变量取值范围图象（示意图）性质 x (元) 3 4 5 6 y (个) 20 15 12 10 xy52O10CBA ．