培优专题01 一元二次方程的解法-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题01  一元二次方程的解法

◎方法一 直接开平方法

（1）       如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.

（2）       直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）       用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（       ）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1

C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0

2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·九年级课时练习）关于的方程．

（1）当时，方程有__________的实数根；

（2）当时，方程有__________的实数根；

（3）当时，方程__________．

4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程的解为______．

5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．

(1)若，求的值．

(2)若，求的值．

◎方法二 配方法

1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；

2、把常数项移到等号的右边；

3、方程两边都除以二次项系数；

4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

6．（2022·江苏南通·八年级期末）用配方法解方程，变形正确的是（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·九年级课时练习）下列解方程变形正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

8．（2022·江苏·九年级专题练习）用配方法将方程变为的形式，则________．

9．（2022·江苏南京·模拟预测）当满足时，方程的根是________．

10．（2022·浙江金华·八年级期末）解方程：

(1)；

(2)x2－6x＋2＝0．

◎方法三 公式法

（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

①         方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值

②         确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③         求出b2-4ac的值；

④         若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

11．（2022·广西崇左·八年级期末）用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ）．

A．，， B．，，

C．，， D．，，

12．（2022·全国·九年级专题练习）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

13．（2022·江苏·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．

14．（2019·全国·八年级单元测试）方程的解是______.

15．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）解方程：

(1)

(2)

◎方法四 因式分解法

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

　　（1）将方程右边化为0；

　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

特别说明：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；

（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

16．（2022·山东泰安·八年级期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（　　　）

A． B． C． D．

17．（2022·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）方程的解是（　　）

A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3

C．x1＝，x2＝ D．x＝﹣3，x＝0

18．（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期中）已知直角三角形的其中两条边长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的第三条边长为 _____．

19．（2021·湖南永州·九年级期中）关于x的一元二次方程的一个解为0，则______．

20．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区一模）解方程

(1)

(2)

◎方法五 换元法

1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知

识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,

当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.

21．（2021·山东济南·八年级期末）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1＝m－3，x2＝1－m，那么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（　　）

A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝2m－3，x2＝1

C．x1＝2m－3，x2＝1－2m D．x1＝－3，x2＝1－2m

22．（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）若实数满足方程，那么的值为（       ）

A．或4 B．4 C． D．2或

23．（2022·全国·九年级专题练习）已知，则的值是_______．

24．（2022·江苏·九年级专题练习）已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2＝___．

25．（2022·全国·九年级）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0，解得y1＝0，y2＝3，当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2，所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2

模仿材料中解方程的方法，求方程（x2＋2x）2﹣2（x2＋2x）﹣3＝0的解．

◎方法六 十字相乘法

26．（2022·江苏·九年级单元测试）已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（       ）

A．12 B．13 C．12或13 D．15

27．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（       ）

A．3或 B．或9 C．3或 D．或6

28．（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．

29．（2022·全国·九年级期中）若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是_____．

30．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）解方程：

(1)﹣x＝3；

(2)﹣x+2＝0．