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人教版九年级上册21.1 一元二次方程复习课件ppt
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这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程复习课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了复习目标，二次项系数，一次项系数，常数项，知识梳理，课堂检测，根与系数的关系，直接开平方法，配方法，公式法等内容，欢迎下载使用。
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识； 2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题； 3.列一元二次方程解决实际问题； 4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
考点2 一元二次方程的根
1.根的判别式Δ=b2−4ac
①Δ>0,方程有两个不相等的实数根②Δ=0,方程有两个相等的实数根③Δ<0,方程无实数根
1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .2.已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则k=______.3.下表是小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情况,则该方程的两根之和为___.
解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2. ∵m+2≠0，∴m≠-2， ∴m=2.
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0, 求m的值.
5.(1)已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值. (2)若a+b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗? (3)若a-b+c=0,4a+2b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根?
解：(1)把x=1代入ax2+bx+c=0得：a+b+c=0 (2)由题意得：a+b+c=0,即a·12+b·1+c=0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. (3)x=-1或x=2
考点3 解一元二次方程
形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程
例1 4x2-100=0 解：4x2=100 x2=25 x1=5, x2=-5
一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解
例2 x2+6x-7=0 解：x2+6x=7 x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16 (x+3)=±4 x1=1, x2=-7
例3 2x2-2x-4=0 解：Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-4)=36 x1=-1, x2=2
若方程可变形为 (x+m)(x+n)=0 (mn≠0)，则 x1=-m,x2=-n.
1.提公因式法：ab+a=a(b+1)
2.公式法:①a2±2ab+b2=(a+b)2 ②a2-b2=(a+b)(a-b)
3.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
(3)x2-2x+1=0 (4)4x2-64=0
解：(x+1)(x-4)=0 x1=-1,x2=4
解：x(x-3)=0 x1=0,x2=3
例4 (1)x2-3x=0 (2)x2-3x-4=0
解：(2x)2-82=0(2x+8)(2x-8)=0 x1=-4,x2=4
解：(x-1)2=0 x1=x2=1
1.用适当的方法解方程：(1)x2 − 4x − 1 = 0； (2)(2x − 3)2 = (3 − x)2(3)2x²﹣x﹣1＝0； (4)(x﹣5)²＝5﹣x.
解：（1） （2）x1=0,x2=2 （3）x1=-0.5,x2=1 （4）x1=5,x2=4
考点4 实际问题与一元二次方程—传播问题
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,可列方程得 1+x+x2=91 解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 解得x1=15，x2=-17， 经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际（舍去），答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
例2 新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量后，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率. 解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x， 3000(1+x)2=5880 解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%. 答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
1.截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ） A． B． C． D．
2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14
3.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克10元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克8.1元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 10（1-x)2=8.1 解得 x1=1.9(舍去）,x2=0.1=10%. 答：平均每次下调的百分率是10%.
考点4 实际问题与一元二次方程—循环问题
例3 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共多少人？ 解：设这个小组共x人，根据题意可列方程 x(x-1)=56 解得 x1=8，x2=-7（舍去） 答：这个小组共8人.
1.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.
2.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 解得 x1=4， x2=-3（舍去） 答：初三有4个班.
例4 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．（1）填表：（不需化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
解：(1)(2)根据题意得， 80+200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000， 整理得，x²-20x+100=0, 解得，x1=x2=10. 当，x=10时，80-x=70＞50，答：第二月的单价应是70元.
800-200-(200+10x)
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. （1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
分析：本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. （1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25, 答：售价应当为25元.
考点4 实际问题与一元二次方程—几何问题
例5 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米．
1.如图，矩形ABCD是景区内一块油菜花地，AB=6m，BC=8m，点E、F、G、H分别在矩形的四条边上，且AE=FC=CG=HA，现在其中修建一条观花道（阴影所示）供游人赏花．若观花道的面积为13m2，求AE的长．
解：设AE=xm，则BE=DG=(6-x)m，BF=DH=(8-x)m， 根据题意，得6×8-2×0.5(6-x)(8-x)=13， 整理得：x2-14x+13=0， 解得：x1=1，x2=13． ∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1． 答：AE的长为1m．
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识； 2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题； 3.列一元二次方程解决实际问题； 4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
考点1 一元二次方程的概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式： ax2＋bx＋c=0 (a，b，c为常数，a≠0)
考点2 一元二次方程的根
1.根的判别式Δ=b2−4ac
①Δ>0,方程有两个不相等的实数根②Δ=0,方程有两个相等的实数根③Δ<0,方程无实数根
1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .2.已知x=1是关于x的方程(1-k)x2+k2x-1=0的根,则k=______.3.下表是小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根的情况,则该方程的两根之和为___.
解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2. ∵m+2≠0，∴m≠-2， ∴m=2.
4.若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0, 求m的值.
5.(1)已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值. (2)若a+b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗? (3)若a-b+c=0,4a+2b+c=0,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根?
解：(1)把x=1代入ax2+bx+c=0得：a+b+c=0 (2)由题意得：a+b+c=0,即a·12+b·1+c=0 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. (3)x=-1或x=2
考点3 解一元二次方程
形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程
例1 4x2-100=0 解：4x2=100 x2=25 x1=5, x2=-5
一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解
例2 x2+6x-7=0 解：x2+6x=7 x2+6x+9=7+9 (x+3)2=16 (x+3)=±4 x1=1, x2=-7
例3 2x2-2x-4=0 解：Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-4)=36 x1=-1, x2=2
若方程可变形为 (x+m)(x+n)=0 (mn≠0)，则 x1=-m,x2=-n.
1.提公因式法：ab+a=a(b+1)
2.公式法:①a2±2ab+b2=(a+b)2 ②a2-b2=(a+b)(a-b)
3.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
(3)x2-2x+1=0 (4)4x2-64=0
解：(x+1)(x-4)=0 x1=-1,x2=4
解：x(x-3)=0 x1=0,x2=3
例4 (1)x2-3x=0 (2)x2-3x-4=0
解：(2x)2-82=0(2x+8)(2x-8)=0 x1=-4,x2=4
解：(x-1)2=0 x1=x2=1
1.用适当的方法解方程：(1)x2 − 4x − 1 = 0； (2)(2x − 3)2 = (3 − x)2(3)2x²﹣x﹣1＝0； (4)(x﹣5)²＝5﹣x.
解：（1） （2）x1=0,x2=2 （3）x1=-0.5,x2=1 （4）x1=5,x2=4
考点4 实际问题与一元二次方程—传播问题
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,可列方程得 1+x+x2=91 解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 解得x1=15，x2=-17， 经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际（舍去），答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
例2 新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量后，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率. 解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x， 3000(1+x)2=5880 解得x1=-2.4(舍去)，x2=0.4=40%. 答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%.
1.截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ） A． B． C． D．
2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14
3.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克10元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克8.1元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 10（1-x)2=8.1 解得 x1=1.9(舍去）,x2=0.1=10%. 答：平均每次下调的百分率是10%.
考点4 实际问题与一元二次方程—循环问题
例3 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共多少人？ 解：设这个小组共x人，根据题意可列方程 x(x-1)=56 解得 x1=8，x2=-7（舍去） 答：这个小组共8人.
1.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛),共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.
2.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 解得 x1=4， x2=-3（舍去） 答：初三有4个班.
例4 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．（1）填表：（不需化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
解：(1)(2)根据题意得， 80+200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000， 整理得，x²-20x+100=0, 解得，x1=x2=10. 当，x=10时，80-x=70＞50，答：第二月的单价应是70元.
800-200-(200+10x)
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. （1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
分析：本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. （1）若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25, 答：售价应当为25元.
考点4 实际问题与一元二次方程—几何问题
例5 如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米．
1.如图，矩形ABCD是景区内一块油菜花地，AB=6m，BC=8m，点E、F、G、H分别在矩形的四条边上，且AE=FC=CG=HA，现在其中修建一条观花道（阴影所示）供游人赏花．若观花道的面积为13m2，求AE的长．
解：设AE=xm，则BE=DG=(6-x)m，BF=DH=(8-x)m， 根据题意，得6×8-2×0.5(6-x)(8-x)=13， 整理得：x2-14x+13=0， 解得：x1=1，x2=13． ∵6-x＞0，∴x＜6，∴x=1． 答：AE的长为1m．
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