第二十一章 一元二次方程（单元测试）原卷版+解析版

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二十一章 一元二次方程（单元测试）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）下列说法正确的是（   ）A．的根为 B． 是的根C．方程的根为 D．没有实数根【详解】解：A、的根为；选项错误，不符合题意；B、 是的根；选项正确，符合题意；C、方程 无实数根；选项错误，不符合题意；D、当 时， 有实数根；选项错误，不符合题意；故选：B．2．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；②，当a=0时不是一元二次方程；③，是一元二次方程；④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，故选：B3．把方程化成一般式，则正确的是（　　　）A．， B．， C．， D．，【详解】将去括号得；移项得∴，故选C．4．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（  ）A．36 B． C．9 D．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根∴ 解得 故选：C．5．（2022秋·河南洛阳·九年级校考期中）下列一元二次方程无实数根的是（   ）A． B．C． D．【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C．，方程没有实数根，符合题意；D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选： C．6．若是方程的两个实数根，则的值为（   ）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【详解】解：∵，∴，,则两根为：3或-1，当时，，当时，，故选：A．7．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，∴,∴一次函数表达式为，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．8．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（   ）A． B．C． D．【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．9．（2022秋·山西朔州·九年级校联考期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（   ）A． B．C． D．【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，由题意得，故选D．10．（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.二、填空题（每题4分，共20分）11．（2022春·四川成都·九年级专题练习）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：．12．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝______．【详解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，∴2a2﹣7a＝1，∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．故答案为：6．13．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．【详解】解：若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正确；故答案为：①③④．14．（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）一元二次方程的两根为，则________________【详解】∵，∴，，，∴，，∴，=，=．故答案为．15．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）16．关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，∴解得：17．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【详解】（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．18．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【详解】解：正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【详解】（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．(1)求m的取值范围；(2)当时，求m的值．【详解】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且m≠0，整理，得：，解得：，且m≠0，即m的取值范围为，且m≠0；（2）∵，，∴，∵，即，即，设，则有：，利用因式分解法，解得：，，根据，得，可得m为4或者-1，又∵，且m≠0，∴m的值为4．21．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．(1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；(2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？【详解】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．（2）设每台降价y元，则四月份可售出台，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．22．距台风中心的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？【详解】解：轮船会受到台风影响．如图，∵，∴．设当轮船接到报警后经过t小时后，轮船到达点D，台风到达点E，由勾股定理得：，整理得，，方程有两个不相等的实数解，∴如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．23．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，由题意得：，解得：，∴，答：4月份再生纸的产量为500吨；（2）解：由题意得：，解得：或（不合题意，舍去）∴，∴的值20；（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，∴答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）