人教版九年级数学上册同步精品讲义及试卷 第08课 一元二次方程章末复习

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第08课 一元二次方程章末复习



课程标准
（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
（2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
（3）列一元二次方程解决实际问题.
（4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.


知识点01 一元二次方程相关概念
a
一元二次方程的概念
①含有1个未知数
②最高次为2次
③整式方程
b
一元二次方程一般形式

c
一元二次方程如何验根
将x的值代入方程
d
一元二次方程的解法
①直接开方法
②配方法
③公式法
④因式分解法
e
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，求根公式
①
②
f
根与系数的关系是：
①
②
g
判别一个一元二次方程是否有实根
当时，
方程有两个不等的实数根;
当时，
方程有两个相等的实数根;
当时，
方程没有实数根.
h
列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步
审、设、列、解、验、答
知识点02 一元二次方程的相关应用
【1】握手（送礼）问题
解题技巧：有2种类型
①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为；
①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为；
【2】传染问题
解题技巧：有2种类型
（1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。
传播轮次
传播前人数
传染人数
传播后总人数
1
a
ap
a+ap=a（1+p）
2
a（1+p）
a（1+p）p
a（1+p）+a（1+p）p=a（1+p）2
3
a（1+p）2
a（1+p）2p
a（1+p）2+a（1+p）2x=a（1+p）3
发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。
【3】平均增长率问题
解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。
增长（下降）次数
增长（下降）前数量
增长（下降）量
增长（下降）后数量
1
a
ap
a±ap=a（1±p）
2
a（1±p）
a（1±p）p
a（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）2
3
a（1±p）2
a（1±p）2p
a（1+p）2±a（1±p）2x= a（1±p）3
发现规律：①增长时：b=a（1+p）n；
②减少时：b=a（1−p）n
注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2；
②通常设增长（下降）率为x；
③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。
【4】图形问题
类型
图形
面积表示
1、内挖类型

如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则阴影的面积可表示为 .
2、外扩类型

如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则矩形ABCD的面积可表示为 .
3、开路问题

如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的小路，路宽均为x,则剩余部分（绿色阴影）面积可表示为 .
4、围栏问题

①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；

②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；

③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；


考法01 一元二次方程相关概念与解法
1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（       ）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
【答案】C
【解析】
解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意；
D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
故选：C．
2．若是方程的一个根，则a的值为（       ）
A．-1 B．0 C．11 D．2
【答案】B
【解析】
解：将代入方程中，可得

即
故选：B．
3．已知方程有一个根是（），则下列代数式的值恒为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：设该方程的另外一个解为，
，
，
将代入可得：，
，
故选：.
4．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（　　）
A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定
【答案】C
【解析】
设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0

解得：y1＝﹣3，y2＝1
当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时

方程无解
则x2+3x的值为1
故选C
5．方程化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________．
【答案】          1         
【解析】
解：
方程整理得：即为
∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4，
故答案为： ①；② 1；③ -5；④-4.
6．解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1(2)
【解析】
(1)解：x2﹣4x﹣5＝0
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
(2)解：3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
∴，
∴．
7．解方程
(1)x2﹣4x＝0；
(2)4x2﹣25＝0；
(3)2x(x﹣3)+x＝3．
【答案】(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5；(3)x1＝3，x2＝
【解析】
(1)解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0；
x＝0或x﹣4＝0；
所以x1＝0，x2＝4；
(2)解：4x2﹣25＝0
（2x+5）（2x﹣5）＝0，
2x+5＝0或2x﹣5＝0，
所以x1＝-2.5，x2＝2.5；
(3)解：2x(x﹣3)+x＝3
将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；
（x﹣3）（2x+1）＝0；
x﹣3＝0或2x+1＝0；
所以x1＝3，x2．
8．解下列方程：
（1）；          （2）；          （3）；
（4）；          （5）；          （6）；
（7）；          （8）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），
【解析】
解：（1）196x2－1 ＝ 0，
移项，得196x2＝ 1，
直接开平方，得14x＝，
x＝，
∴原方程的解为，．
（2），
原方程化为，
，
∴或，
∴，．
（3），
∵，，，
∴>0，
∴，
，．
（4），
原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴ ，
∴，．
（5），原方程化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，．
（6），
原方程化为，
∴或，
∴，．
（7）原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴，．
（8），
原方程化为，
∴或，
∴，．
9．求下列方程两个根的和与积：
（1）；          （2）；
（3）；          （4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），
【解析】
解：（1）设方程的两根为，，则， ．
（2）设方程的两根为，，则，．
（3）原方程化为，设方程的两根为，，则，．   
（4）原方程化为，设方程的两根为，，则，．
10．解下列方程：
（1）；          （2）；          （3）；
（4）；          （5）；          （6）．
【答案】（1）x1＝0，x2＝－1；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝x2＝1；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝1，x2＝3
【解析】
解：（1）x（x＋1）＝0，
x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝−1；
（2），
，
x＝0或＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（3），
，
，
∴x1＝x2＝1；
（4）（2x＋11）（2x−11）＝0，
2x＋11＝0或2x−11＝0，
∴x1＝，x2＝；
（5）（2x＋1）（3x−2）＝0，
2x＋1＝0或3x−2＝0，
∴x1＝，x2＝；
（6）（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0，
（1−x）（3x−9）＝0，
1−x＝0或3x−9＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
11．填空：
（1）+______=（x+________）2；
（2）+______=（x-________）2；
（3）+______=（x+________）2；
（4）+______=（x-________）2．
【答案】     25     5     36     6                   
【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为25；5；36；6；；；；．
12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____．
【答案】
【解析】
x2＋2x－3＝0


m是方程x2＋2x－3＝0的实根

或
故答案为：．
13．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ．
【答案】k＜9，且
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴， ，
∴k＜9且．
故答案为：k＜9，且
考法02 一元二次方程的实际应用
14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】14
【解析】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
15．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是_____．

【答案】12
【解析】
解：第1个图象有1个小圆，
第2个图象有1+2＝3个小圆，
第3个图象有1+2+3＝6个小圆，
第4个图象有1+2+3+4＝10个小圆，
第n个图象有1+2+3+…+n＝个小圆，
∵第n个图形中“〇”的个数是78，
∴＝78，
解得n＝12，或n＝﹣13（不符合题意，舍去）
故答案为12．
16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】24
【解析】
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），
∴x+2=4，
∴这个两位数为24．
17．一个矩形的长和宽相差，面积是．求这个矩形的长和宽．
【答案】这个矩形的长为4 cm，宽为l cm
【解析】
解：设矩形的宽为cm，则长为（） cm
由矩形面积公式可知，
整理得，
解得，．
因为矩形的边长不能是负数，所以不符合题意，舍去，
所以．
所以．
答：这个矩形的长为4 cm，宽为1cm ．
18．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
【答案】10%．
【解析】
解：设这两年的平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？

【答案】用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）
【解析】
解：设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m，
根据题意，得，
整理得，，
解得，
．
答：用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）．
20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
【答案】6
【解析】
设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛.
21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图．
【答案】见解析
【解析】
解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得，
整理，得，
解得，．
因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，
所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）．
这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）．

22．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形．
【答案】见解析
【解析】
解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去，
所以，，．
画出这个直角梯形如图所示．

23．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

【答案】1.8，1.4
【解析】
解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是


．
设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得：
．
整理，得．
解方程，得．
∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．
24．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长．
【答案】这两条直角边为，．
【解析】
解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得：
x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8．
当x1=6时，14﹣x=8；
当x2=8时，14﹣x=6；
答：两条直角边的长分别为，．
25．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．
【答案】－14，－12或12，14．
【解析】
解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意，得：
x(x＋2)＝168，
∴x2＋2x－168＝0，
∴ x1＝－14，x2＝12．
当x＝－14时，x+2＝－12；
当x＝12时，x+2＝14．
答：这两个偶数分别是－14，－12或12，14．
26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【答案】9．
【解析】
解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
27．一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长．
【答案】菱形的周长是cm．
【解析】
解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：
(10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4，
所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm．
由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm．
答：菱形的周长是cm．
28．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？
【答案】共有10个队参加比赛．
【解析】
设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故共有10个队参加比赛．
29．青山村种的水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为．
【解析】
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有：
7200(1＋x)2＝8450．
解得x＝或x＝（舍）．
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为．
30．要为一幅长，宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
【答案】镜框边的宽度约是1.5cm．
【解析】
解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得：
(29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22，
整理，得8x2＋204x－319＝0，
解得x＝，
所以，，
因x＝<0，不符合题意，舍去，
所以x ＝≈1.5；
答：镜框边的宽度约是1.5cm．
31．如图，线段的长为1．

（1）线段上的点C满足关系式，求线段的长度；
（2）线段上的点D满足关系式，求线段的长度；
（3）线段上的点E满足关系式，求线段的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？
【答案】（1）；（2）；（2）．规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
【解析】
解：(1)设线段AC的长度为，则，
∵，
∴，
，
，
解得，   （舍），
∴；
(2)设线段的长度为，则线段，
∵，
∴，
，
解得，（舍），
∴   ；
(3) 设线段的长度为，则线段，
∵,
∴，
解得，(舍)，
∴；
规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
32．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
(2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【答案】(1)450 kg；6750元；(2)80元
【解析】
(1)55-50=5元
500-5×10=450 kg
(55-40)×450=6750元
答：当销售单价定为每千克55元时，销售量为450 kg，月销售利润为6750元．
(2)
设涨价x元，则销售量减少10xkg，则
(50-40+x)(500-10x)=8000
解得x1=10，x2=30
又因为40×(500-10x)≤10000
解得x≥25
所以x=30，x+50=80
答：销售单价应为80元．