人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

  4.5.2　用二分法求方程的近似解

4.5.3　函数模型的应用

知识点一　用二分法求方程的近似解

1．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε.

第二步：求区间(a，b)的中点c.

第三步：计算f(c)．

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)＜0，

则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)＜0，

则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．

　二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

知识点二　常见的增长模型

1．线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

2．指数函数模型

能利用指数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．

3．对数函数模型

能用对数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．

4．幂函数模型

幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

　函数模型的选取

(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．

(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．

[教材解难]

　教材P149思考

因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．

[基础自测]

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．

答案：C

2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.6　　B．0.75

C．0.7    D．0.8

解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．

又0.68＝，且f(0.68)＜0，

所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.

答案：C

3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)

A．y＝ax＋b   B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝a·ex＋b  D．y＝aln x＋b

解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.

答案：B

4．已知函数y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为________．

解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内．

答案：(2,3)

题型一　二分法概念的理解[经典例题]

例1　(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)

A．y＝x＋7  B．y＝5x－1

C．y＝log3x  D．y＝x－x

(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

【解析】　(1)

(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．

【答案】　(1)D　(2)B

　(1)在无法通过解方程f(x)＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点．

(2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号.

方法归纳

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

跟踪训练1　用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．

答案：(1,2)

　先构建函数f(x)＝2x＋3x－7，再判断f(1)，f(2)，f(3)的符号，寻找函数值与f(2)异号的自变量．

题型二　用二分法求函数零点的近似值

例2　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)

【解析】　经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.

取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，

因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)，

如此继续下去，如下表：

因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，

所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.

　方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解.

方法归纳

(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．

②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，精确度来把关口．

跟踪训练2　利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．

【解析】　设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.

取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0，

∴x0∈(2,2.5)．

再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0，

∴x0∈(2.25,2.5)．

同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)．

∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1，

故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.

　本题用求根公式可以求得x1＝1＋，x2＝1－，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同．

题型三　函数模型的选择问题[教材P152例6]

例3　某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

【解析】　借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图1)．观察图象发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

图1

下面通过计算确认上述判断．

先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．

令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．

图2

由图象可知函数f(x)在区间[10,1 000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7＜0，

即log7x＋1＜0.25x.

所以，当x∈[10,1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．

　本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10,1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.

不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

教材反思

数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．

跟踪训练3　某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

【解析】　由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．

(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得

所以有关系式y＝0.1x＋1.

由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．

(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得

解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.

结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．

(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得

由①，得ab＝1－c，代入②③，得则解得则a＝＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.

比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．

通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．

题型四　三类函数图象综合运用

例4　判断方程2x＝x2有几个实根．

【解析】　设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x＞0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x＞x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x＞x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根．

　(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．

(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：

①先设出两个可画图象的函数；

②画出两个函数的图象；

③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数.

方法归纳

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．

跟踪训练4　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

解析：(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．

f(x)＝lgx图象是曲线．

g(x)＝0.3x－1图象是直线．

课时作业 26

一、选择题

1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1  B．x2

C．x3  D．x4

解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．

答案：C

2．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：由＜0.01，得2n＞10，

所以n的最小值为4.故选B.

答案：B

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(　　)

A．1.2  B．1.3

C．1.4  D．1.5

解析：由表知f(1.438)＞0，f(1.406 5)＜0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.

答案：C

4．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A．指数函数：y＝2t  B．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t3  D．二次函数：y＝2t2

解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.

答案：A

二、填空题

5．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)＜0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)＜0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．

解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)＜0，f(0)·f(x1)＜0，

故零点所在区间可以为(0，x1)．

答案：(0，x1)

6．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．

解析：设湖水量每年为上年的q%，

则(q%)50＝0.9，

所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.

答案：y＝0.9·m

7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6＜0，f(4)＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.

解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.

答案：－2.25

三、解答题

8．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)

解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，

所以f(2.2)·f(2.4)＜0，

即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，

f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.

9．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.

现有如下5个模拟函数：

①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.74.

请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律．

解析：画出散点图如图所示．

由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律．

[尖子生题库]

10．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．

解析：令f(x)＝ln x－，

f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2－＝ln＞ln 1＝0，

f(1.5)＝ln 1.5－＝(ln 1.53－2)．

因为1.53＝3.375，e2＞4＞1.53，

 故f(1.5)＝(ln 1.53－2)＜(ln e2－2)＝0，

f(1.5)f(2)＜0，下一个有根区间是[1.5,2]．