必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后复习题

      专题6.1  平面向量的概念

知识储备

一　向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.  2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.

二　向量的几何表示

1.有向线段

具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.

以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.

2.向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用).

3.模、零向量、单位向量

向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考　“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

答案　错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.

三　相等向量与共线向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.

(2)规定：零向量与任意向量平行.

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

思考　(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

答案　(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.

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注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）

（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；

（3）若，则；           

（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由相等向量的定义知（1）正确；

平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；

方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；

相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，

所以正确答案只有一个．故选B．

2．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；

时，只说明向的长度相等，无法确定方向，

所以B，C均错；

时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，

不能确定相等，所以D错.故选A.

3．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由平行向量的定义可知A项正确；

因为和的方向相反，所以，故B项正确；

由相反向量的定义可知，故选项D正确；

由相反向量的定义知，故C项错误.故选C.

4．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据图形看出，四边形是平行四边形故选：

5．若向量与向量不相等，则与一定（    ）

A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量

【答案】D

【解析】向量与向量不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确.故选：D.

6．下列说法错误的是（    ）

A．若非零向量有，，则 B．零向量与任意向量平行

C．已知向量不共线，且，，则 D．平行四边形中，

【答案】D

【解析】选项A：因为都不是零向量，所以由，可知向量与向量具有相同或相反方向.又由，可得向量与向量具有相同或相反方向，所以向量与向量具有相同或相反方向，故，故本说法是正确的；

选项B：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；

选项C：由，，可知：与向量具有相同或相反方向，与向量具有相同或相反方向，但是向量不共线，所以，故本说法是正确的；

选项D：平行四边形中，应该有，故本说法是错误的.故选：D

7．，为非零向量，且，则（    ）

A．，同向 B．，反向

C． D．，无论什么关系均可

【答案】A

【解析】当两个非零向量与不共线时,的方向与,的方向都不相同,且；当向量与同向时,的方向与,的方向都相同,且；

当向量与反向且时,的方向与的方向相同（与的方向相反）,且,

故选:A

8．如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(    )

A．12个 B．18个 C．24个 D．36个

【答案】C

【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，的格点图中包含12个小正方形，

所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（    ）

A． B．

C．与的方向相反 D．与都是单位向量

【答案】AC

【解析】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；

对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；

对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.

10．在下列结论中，正确的有（    ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量

C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等

【答案】BCD

【解析】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；   

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；   

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：

11．下列能使成立的是（    ）

A． B． C．与方向相反 D．或

【答案】ACD

【解析】对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.故选：

12．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；

等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；故选：.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上．

其中不正确命题的序号是________．

【答案】②④⑤

【解析】向量与是相反向量,它们的模长相等,即①正确;

零向量与任何向量平行,若向量与中恰有一个为零向量,则它们的方向不满足题意,即②错误;

对于相等向量,若它们有共同的起点,则它们终点也相同,即③正确;

两个有公共终点的向量,若它们的起点和终点不在一条直线上,则它们不共线,即④错误;

因为向量可以平移,所以共线向量与中,不一定在同一条直线上,即⑤错误.

故答案为:②④⑤.

14．如图，四边形和都是平行四边形

（1）与向量相等的向量有__________；

（2）若，则__________.

【答案】    6   

【解析】①根据相等向量的定义及平行四边形性质：与向量相等的向量有

②，6

15.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，＝2，则|＝________.

【答案】1

【解析】连接AC，由得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，

则＝＝×2＝1.

16．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量

则：（1）与向量相等的向量有_______；

（2）与向量共线，且模相等的向量有________；

（3）与向量共线，且模相等的向量有________.

【答案】，    ，，，，    ，，，，   

【解析】（1）与向量相等的向量是，；

（2）与向量共线且模相等的向量是，，，，   ，

（3）与向量共线且模相等的向量，，，，

三、解答题（本大题共4小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.

（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与共线的向量有哪些？

（3）请一一列出与，，.相等的向量．

【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，， .（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线.

（3）由相等向量的定义得：与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，；与 相等的向量有，，.

18．（本小题满分12分）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

（1）作出向量，，；

（2）求 的模．

【解析】（1）作出向量，，；如图所示：

（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，

所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，

所以AD＝＝(米)，

所以|米.

19．（本小题满分12分）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；

（2），使＝4，点B在点A正东；

（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.

【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．

（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．

（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．

20.（本小题满分12分）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向

40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：

(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；

(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.

【解析】(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(km).

(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东∠BAC，其中sin∠BAC＝.

21．（本小题满分12分）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与相等的向量；

（2）与长度相等的向量；

（3）与共线的向量.

【解析】画出图形，如图所示．

（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，

所以与长度相等的向量为，，，，，，.

（3）与共线的向量为，，.

22.（本小题满分12分）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值.

【解析】(1)画出所有的向量，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，

||取得最小值；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值.

所以||的最大值为，最小值为.