高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题

      专题6.2  平面向量的加法、减法、数乘运算

知识储备

一．向量加法的法则

【思考】|a＋b|与|a|，|b|有什么关系？

【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

二．向量的减法

1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.

3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.

【思考】若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？

【答案】如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.

三　向量数乘的定义

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa (a≠0)的方向

特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.

四　向量共线定理

向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

【思考】向量共线定理中为什么规定a≠0?

【答案】若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线.

(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.

(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.

能力检测

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对B，，故B正确；

对C，，故C正确；

对D，，故D正确；故选：A.

2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为四边形为平行四边形，故，

故，故选B.

3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形中（如图），（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.故选B

4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则＋＋等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，

∴，，

∴.故选C

5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中，则给出下列结论：

①；②；③．

其中正确的结论为（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】C

【解析】对于①：因为，故①错误；

对于②：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，

又因为平分，所以，故②正确；

对于③：因为，且，

所以，故③正确，故选：C.

6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形中，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，在四边形中，设，

根据向量的运算法则，可得.故选D.

7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点是所在平面内一点且，在内任取一点，则此点取自内的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设是中点，因为，所以，

所以、、三点共线且点是线段的三等分点，

故，所以此点取自内的概率是．故选B.

8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（    ）

A．内部 B．边所在直线上

C．边所在直线上 D．边所在直线上

【答案】B

【解析】根据题意，，点P在边所在直线上，故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（2021·江苏高一）已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（    ）

A．与是一对相反向量

B．与是一对相反向量

C．与是一对相反向量

D．与是一对相反向量

【答案】ACD

【解析】∵为正方体的中心，∴，，故，

同理可得，

故，∴A、C正确；

∵，，

∴与是两个相等的向量，∴B不正确；

∵，，

∴，∴D正确.故选ACD

10．（2020·全国高三专题练习）下列各式中，结果为零向量的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于选项：，选项不正确；

对于选项： ，选项正确；

对于选项：，选项不正确；

对于选项：

选项正确.故选BD

11．（2020·全国高三专题练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】如图，

在中，，故A正确；

，故B正确；

，，故C正确；

，故D不正确．故选：ABC

12．（2020·山东高三专题练习）下列关于平面向量的说法中不正确的是（   ）

A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得

B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】BC

【解析】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；

对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2019·江西九江市·高一其他模拟）化简：_________.

【答案】

【解析】.

故答案为：.

14．（2020·全国高一）若，与方向相反，且，则_______________．

【答案】

【解析】因为与方向相反，

所以设，则，

所以，可得，

又，所以．

15．（2020·安徽六安市·六安一中高一期末（理））若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______.

【答案】

【解析】

取的中点为，则

即，则点为的重心

根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的

则

16．（2020·山东高三专题练习）在平行四边形中，，为的中点，则_______，________.（用表示）

【答案】       

【解析】如图，四边形是平行四边形，,又,三点共线，且，则，.

三、解答题（本大题共4小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）化简．

（1）．

（2）．

【解析】（1）；

（2）.

18．（本小题满分12分）已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形.

【解析】如图所示.

∵＝＋＋

＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)

＝－8a－2b＝2(－4a－b)，

∴＝2.

∴与共线，且||＝2||.

又∵这两个向量所在的直线不重合，

∴AD∥BC，且AD＝2BC.

∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.

19．（本小题满分12分）如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．

【解析】由题意知，，，

由题意可知，．

∴

．

20．（本小题满分12分）如图，已知正方形的边长等于单位长度1，，，，试着写出向量.

（1）；

（2），并求出它的模.

【解析】（1）；

（2）.

∴.

21．（本小题满分12分）（2020·六安市城南中学高二开学考试（文））如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.

【解析】，，，

．

．

，，

．

．

16.（本小题满分12分）设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论.

【解析】b与a＋c共线.证明如下：

∵a＋b与c共线，

∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①

∵b＋c与a共线，

∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②

由①－②得，a－c＝λc－μa.

∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.

又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，

∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.

∴a＋c＝－b.

故a＋c与b共线.