数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）授课ppt课件

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知识点1　函数的零点[巧梳理]1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使_____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：[微点拨](1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)求零点可转化为求对应方程的解．
[微体验]1．函数f(x)＝lg2(2x－1)的零点是(　　)A．1　B．2　　　C．(1，0)　　D．(2，1)
2．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________．解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.答案：8
知识点2　函数零点存在定理[巧梳理]
[微点拨](1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件．
[微体验]3．函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　)A．(－1，0)　　　　B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)解析：D　因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)f(3)<0，所以D正确．
4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案：(1.25，1.5)
(3)令2x－3＝0，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23.(4)令1－lg3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3.
求函数y＝f(x)的零点的方法(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点．(2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.
(2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，∴函数f(x)的零点是1，10.
学习任务二　判断函数零点所在区间[例2]　(链接教材P144练习T2)(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)A．(－3，－1)和(2，4)B．(－3，－1)和(－1，1)C．(－1，1)和(1，2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
解析：C　由所给的表格可得f(e)＝1－1.1＝－0.1<0，f(3)＝1.1－1＝0.1>0，所以f(e)f(3)<0，故函数的零点所在的区间为(e，3)，故选C.
(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个．
判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．答案：3
学习任务四　根据函数的零点求参数的值[例4]　(1)若f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，＋∞)　　B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)(2)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是______________．
(2)函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
根据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[跟踪训练]4．已知函数f(x)＝lgax－x＋2(a>0，且a≠1)有且仅有两个零点，则a的取值范围是(　　)A．01C．1解析：B　令f(x)＝0得lgax＝x－2，分别作出函数y＝lgax和y＝x－2的图象．(1)当a>1时，函数y＝lgax和y＝x－2的图象如图所示．由图象可知函数y＝lgax和y＝x－2的图象有两个交点．所以f(x)＝lgax－x＋2有两个零点，符合题意．
(2)当01.
解析：C　法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点，即－2与1.
4．方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．解析：令f(x)＝lg x＋2x－8，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续，因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg 2－4<0，f(3)＝lg 3－2<0，f(4)＝lg 4>0，所以f(3)f(4)<0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3.答案：3
2．函数f(x)＝lg3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　)A．(5，6)　　　　B．(3，4)C．(2，3) D．(1，2)解析：B　f(3)＝lg33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝lg34－8＋2×4＝lg34>0.又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3，4)．
3．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)A．0B．1C．－1 D．不能确定解析：A　因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
4．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝lg2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a8．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
9．函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g(x)＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间．解：∵－1和2是函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点，∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.∴g(x)＝－x3－2x＋4.
∵g(1)＝1，g(2)＝－8，g(1)g(2)<0，∴y＝g(x)在区间(1，2)内有零点，又∵y＝g(x)在R上是单调函数，∴y＝g(x)只有一个零点．综上可知，函数g(x)的零点所在的大致区间为(1，2)．
11．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根解析：D　由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．
12．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)解析：画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象，并写出单调区间；(3)若y＝f(x)与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
(2)图象如图所示，单调递增区间：(－∞，－1]，[1，＋∞)；单调递减区间：(－1，1)．(3)因为方程f(x)＝m有三个不同的解，由图象可知，－1解析：由解析式可得如图图象，