初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试课堂检测

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知识精讲
知识点01 幂的运算
同底数幂的乘法：( m，n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
幂的乘方： ( m，n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
积的乘方：( n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
同底数幂的除法：( a ≠0, m，n 为正整数，并且 m  n ).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
零指数幂： a0  1a  0. 即任何不等于零的数的零次方等于 1.
要点诠释：
公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
知识点02 整式的乘法和除法
单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
m(a  b  c)  ma  mb  mc ( m, a, b, c 都是单项式).
多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
a  bm  n  am  an  bm  bn.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式 ． 根 据 多 项 式 的 乘 法 ， 能 得 出 一 个 应 用 比 较 广 泛 的 公 式 ：
 x  a x  b  x2  a  b x  ab .
单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即： (am  bm  cm)  m  am  m  bm  m  cm  m  a  b  c
知识点03 乘法公式
1.平方差公式： (a  b)(a  b)  a2  b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里， a，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式： a  b2  a2  2ab  b2 ； (a  b)2  a 2  2ab  b 2
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.
知识点04 因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法
等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
能力拓展
考法01 幂的运算
【典例1】
【思路点拨】由于已知 x2m 的值，所以逆用幂的乘方把 x6m 变为(x2m )3 ，再代入计算．
【答案与解析】
【即学即练1】
【答案】
解：（1） b  a  c ；（2） 330  2710  920
提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为 12；
（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为 3.
考法02 整式的乘除法运算
【典例2】已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出 m，n 的值，并求出一次项系数．
【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以
x 的最高指数 m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为 0，即可解答．
【答案与解析】
解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，
所以 m+2=4， 解得：m=2，
原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项，
∴3+12n=0，
【即学即练2】
【答案】
考法03 乘法公式
【典例3】计算：(1) a  b  c  d a  b  c  d  ；(2) 2x  3y 12x  3y  5 ．
【思路点拨】（1）中可以将两因式变成 a  b 与c  d 的和差.（2）中可将两因式变成2  3y
与2x  3 的和差.
【答案与解析】
解：(1)原式 [(a  b)  (c  d )][(a  b)  (c  d )]  (a  b)2  (c  d )2
 a2  2ab  b2  c2  2cd  d 2 ．
(2)原式 [(2  3y)  (2x  3)][(2  3y)  (2x  3)]
 2  3y 2  2x  32
 9 y2  4x2 12 y 12x  5 .
【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．
【即学即练3】
计算： 3(22 1)(24 1)(28 1) 1 ．
【答案】
解 ： 3(22 1)(24 1)(28 1) 1  (22 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1
 (24 1)(24 1)(28 1) 1
 (28 1)(28 1) 1  216 11  216
【典例4】已知 x2  y2  z2  2x  4 y  6z 14  0 ，求代数式(x  y  z)2012 的值.
【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出 x, y, z .
【答案与解析】
【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.
【即学即练4】
【答案】
【典例5】求证：无论 x，y 为何有理数，多项式 x2  y2  2x  6 y 16 的值恒为正数．
【答案与解析】
解：原式＝  x 12   y  32  6  0
所以多项式的值恒为正数.
【即学即练5】
【答案】
考法04 因式分解
【典例6】分解因式：（1） x2  22  x2  2  2
（2） x2  4x2  x2  4x  20
（3） 4a2  4ab  b2  6a  3b  4
【答案与解析】
解：（1）原式 x2  2  2x2  2 1   x  2 x  2 x 1 x 1
（2）原式＝ x2  4x2  (x2  4x)  20  x2  4x  5x2  4x  4
  x  5 x 1 x  22
（3）原式＝ 2a  b2  32a  b  4  2a  b  42a  b 1
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.