2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点08 整式的乘除与因式分解

考点08 整式的乘除与因式分解

考点总结

知识点一 整式乘法

幂的运算性质（基础）：

         am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【同底数幂相乘注意事项】

1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

         (am)n＝amn      （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

         (ab)n＝anbn  （n为正整数）  积的乘方等于各因式乘方的积．

         am ÷an＝am－n  （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．

【同底数幂相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.

2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。

         a0＝1  （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

知识点二 整式乘除

         单项式×单项式

单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘法易错点：

【注意】

1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。

         单项式×多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加

【单项式乘以多项式注意事项】

1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）

3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

         多项式×多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

【多项式乘以多项式注意事项】

多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

         乘法公式

①     完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

                （a－b）2＝a2－2ab＋b2

【扩展】

扩展一(公式变化)： +

+2ab

扩展二： + = 2(+ )

- = 4ab

扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc

② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

【运用平方差公式注意事项】

1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．

         单项式÷单项式

一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

【同底数幂相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.

2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。

         多项式÷单项式

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

【解题思路】

多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。

         整式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。

知识点四 因式分解（难点）

因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

【因式分解的定义注意事项】

1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

2.因式分解必须是恒等变形；

3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

因式分解的常用方法：

提公因式法

【提公因式法的注意事项】

1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。                   

2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。                                           

3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。

4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 

公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

①平方差公式：   a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②     完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

                  a2－2ab＋b2＝（a－b）2

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•开平区一模）如果（　　）•m＝m6，那么（　　）＝（　　）

A．m7 B．m6 C．m5 D．5m

2．（2021•安次区一模）计算a6×（﹣a2）的结果是（　　）

A．a4 B．﹣a8 C．a8 D．﹣a4

3．（2021•邯郸模拟）下列计算正确的是（　　）

A．x2+x2＝x4 B．3x2•x＝3x3 

C．（ab2）3＝a4b5 D．a6÷a2＝a3

4．（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（　　）

A．37 B．13 C．20 D．36

5．（2021•玉田县二模）下列运算正确的是（　　）

A．±4 B．3a2+a＝3a3 

C．（a2）3＝a6 D．a（a+1）＝a2+1

6．（2021•平泉市一模）下列运算正确的是（　　）

A．x3+x3＝2x6 B．（2x）3＝6x3 

C．2x2•3x＝6x3 D．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2

7．（2021•南皮县一模）对于：

①x2﹣4＝（x﹣2）2；

②﹣x2+1＝（x+1）（1﹣x）；

③x3+2x﹣4＝（x+2）2；

④x2﹣x+1＝（x﹣1）2．

其中因式分解正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

8．（2021•河北模拟）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣2xy＝x（1﹣2y），从左到右的变形，表述正确的是（　　）

A．都是因式分解 

B．都是乘法运算 

C．①是因式分解，②是乘法运算 

D．①是乘法运算，②是因式分解

9．（2021•唐山一模）下列各式：①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），②（a+b）2＝a2+2ab+b2，③a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A．② B．①② C．①③ D．②③

10．（2021•平泉市一模）若9×11×13，则k＝（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9

二．填空题（共5小题）

11．（2021•惠山区模拟）因式分解：3x2﹣12＝　   　．

12．（2021•锡山区模拟）分解因式：2x2﹣8＝　   　．

13．（2018•无锡）因式分解：x3﹣4x＝　   　．

14．（2021•丰润区一模）计算：（﹣a）6÷a3＝　   　．

15．（2021•乐亭县一模）若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则ab的值为　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2020•玉田县二模）如下，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：

①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，

②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，

③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，

④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．

…

（1）请写出：

算式⑤　   　；

算式⑥　   　；

（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；

（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．

17．（2021•路北区二模）某学校初中部和小学部一起在操场做课间操．初中部排成长方形，每排（4a﹣b）人站成（3a+2b）排；小学部排成一个边长2（a+b）的方阵．

（1）初中部比小学部多多少人？（用字母a，b表示）

（2）当a＝10，b＝2时，该学校一共有多少名同学？

18．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x，y1．