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人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案，共15页。教案主要包含了设计意图，做一做1，做一做2，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，变式探究，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
在学生掌握平面向量加法、减法、数乘运算的基础上，再让学生了解向量的数量积运算，理解投影的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；
4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算
掌握平面向量数量积的性质及其运算律
难点：投影向量的概念
探究数量积的性质及其应用
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．
物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？
【想一想】当力与运动方向成某一角度时，力对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？
2.探索交流，解决问题
【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？
【提示】通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，，向量的数量积具有相同的运算。
【设计意图】通过设计的问题，让学生从功的计算公式的得出过程引出投影向量和数量积的计算。
（二）向量的数量积
1.向量的夹角
【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？
【提示】力、位移都是矢量,夹角为.
【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
答案：A
2.向量的数量积
【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?
【提示】由物理知识容易得到W=|F||s|cs θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.
特别提醒：
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
【做一做】已知向量a，b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 ( )
A.1 B. C.3 D.3
解析：a·b＝|a||b|cs θ=2cs30°=2=3.
答案：C
3.投影向量
【探究1】如图（1），已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？
【提示】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.
【探究2】设直线AB与直线l的夹角为，那么|A1B1|与|AB|，之间有怎样的关系？
【提示】|A1B1|=|AB|cs.
（1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cse.
特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0.
【做一做】已知非零向量a与b的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .
解析：c=|a|cs45°e=2e=e.
答案：e
4.向量的数量积的性质
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.
【探究1】根据数量积公式，计算a·e，a·a.
【提示】a·e=|a||e|cs=|a|cs，
a·a=|a|·|a|cs 0°＝|a|2.
【探究2】若a·b＝0，则a与b有什么关系？
【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cs θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
【探究3】当θ=0°和180°时，数量积a·b分别是什么？
【提示】当θ=0°时，a·b=|a|·|b|;当θ＝180°时，a·b=－|a|·|b|.
【探究4】两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时候为负数？
【提示】 设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ<90°时，a·b>0，即数量积为正数，当θ＝90°，a·b＝0，即数量积为0；当90<θ≤180°时，a·b<0，即数量积为负数．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=|a|cs.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).
(5)|a·b|≤|a||b|.
(6)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
5.数量积的运算律
【探究】根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?
【提示】
向量数量积的运算律
特别提醒：
（1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
【做一做1】已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则( )
A.a＝b B.|a|＝|b|
C.a⊥b D.a∥b
解析：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.
答案：B
【做一做2】设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
A.1 B.2 C.3 D.5
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
答案：A
【设计意图】通过探究让学生理解向量的数量积运算，培养数学抽象、数学运算的核心素养。
（三）典型例题
1.向量的数量积的计算
例1.在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→)).
解：①因为eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且方向相同，所以eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角是0°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·cs 0°＝3×3×1＝9.
②因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为60°，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))的夹角为120°，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(DA,\s\up6(→))|·cs 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－6.
【类题通法】向量数量积的求法
求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
【巩固练习1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解：(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cs 120°－6×72 ＝－268.
2.求投影向量
例2.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．
解：向量a在向量e上的投影向量是|a|csθe=4cseq \f(2π,3)e=－2e.
因为与向量a方向相同的单位向量为=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|csθ=cseq \f(2π,3)=－a.
答案：－2e －a
【类题通法】向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cs θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝eq \f(b,|b|))中计算即可．
【巩固练习2】已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量是________．
解：向量a在向量b上的投影向量是|a|cs 60°＝4×eq \f(1,2)×b＝b.
答案：b
3.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题
例3.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,2) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－2a2,4a2)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝eq \f(2π,3)，故选C．
答案：C
【变式探究】本例中,若非零向量a，b的夹角为60°,且|b|=4|a|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0，化简得k+2(2k-1)-32=0，解得k=.
【类题通法】1.求平面向量夹角的方法:
(1)利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
2.非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
【巩固练习3】（1）已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
解：（1）设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cs θ－6|b|2＝62－6×4×cs θ－6×42＝－72，
所以24cs θ＝36＋72－96＝12，所以cs θ＝eq \f(1,2).又因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，所以θ＝eq \f(π,3).
（2）∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cs 90°－18＝0，
∴12λ－18＝0，∴λ＝eq \f(3,2).
4.利用数量积求向量的模
例4.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．
解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cs θ＝5×5×cs eq \f(π,3)＝eq \f(25,2)，
所以|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋b2＋2a·b)＝eq \r(25＋25＋25)＝5eq \r(3)，
|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2＋b2－2a·b)＝eq \r(25＋25－25)＝5.
【类题通法】根据数量积的定义a·a＝|a||a|cs 0°＝|a|2，得|a|＝eq \r(a·a)，这是求向量的模的一种方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根．对于复杂的向量也是如此．例如，求|a＋b|，可先求(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)，再取其算术平方根即为|a＋b|.
【巩固练习4】已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2
＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cs 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
（四）操作演练 素养提升
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
解析：m·n＝|m||n|csθ＝4×6×cs135°＝－24×eq \f(\r(2),2)＝－12eq \r(2).
答案：C
2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cs 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
答案：C
3.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6.
答案：B
4.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
解析：∵与b方向相同的单位向量为=，设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，∴|a|csθ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(12,5).∴向量a在向量b上的投影向量为|a|csθ=eq \f(12,5)·=b.
答案：b
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第20页 练习 第1，2，3题
第22页 练习 第1,2,3题
第23页 习题6.2 第18,19,20,21题
第二节 平面向量的运算
课时内容
向量的加法运算
向量的减法运算
向量的数乘运算
向量的数量积
所在位置
教材第7页
教材第11页
教材第13页
教材第17页
新教材内容分析
向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。
实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。
核心素养培养
通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。
借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。
会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.
教学主线
平面向量的运算
定义
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up12(→))＝a，eq \(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
图示
范围
特殊
情况
a与b同向
a与b反向
a与b垂直，记作ab
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ
规定
零向量与任一向量的数量积均为0
交换律
a·b＝b·a
对数乘的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：
在学生掌握平面向量加法、减法、数乘运算的基础上，再让学生了解向量的数量积运算，理解投影的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；
4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
重点：平面向量的数量积的运算
掌握平面向量数量积的性质及其运算律
难点：投影向量的概念
探究数量积的性质及其应用
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．
物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？
【想一想】当力与运动方向成某一角度时，力对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？
2.探索交流，解决问题
【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？
【提示】通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，，向量的数量积具有相同的运算。
【设计意图】通过设计的问题，让学生从功的计算公式的得出过程引出投影向量和数量积的计算。
（二）向量的数量积
1.向量的夹角
【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？
【提示】力、位移都是矢量,夹角为.
【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
答案：A
2.向量的数量积
【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?
【提示】由物理知识容易得到W=|F||s|cs θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.
特别提醒：
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
【做一做】已知向量a，b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 ( )
A.1 B. C.3 D.3
解析：a·b＝|a||b|cs θ=2cs30°=2=3.
答案：C
3.投影向量
【探究1】如图（1），已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？
【提示】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.
【探究2】设直线AB与直线l的夹角为，那么|A1B1|与|AB|，之间有怎样的关系？
【提示】|A1B1|=|AB|cs.
（1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cse.
特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0.
【做一做】已知非零向量a与b的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .
解析：c=|a|cs45°e=2e=e.
答案：e
4.向量的数量积的性质
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.
【探究1】根据数量积公式，计算a·e，a·a.
【提示】a·e=|a||e|cs=|a|cs，
a·a=|a|·|a|cs 0°＝|a|2.
【探究2】若a·b＝0，则a与b有什么关系？
【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cs θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
【探究3】当θ=0°和180°时，数量积a·b分别是什么？
【提示】当θ=0°时，a·b=|a|·|b|;当θ＝180°时，a·b=－|a|·|b|.
【探究4】两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时候为负数？
【提示】 设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ<90°时，a·b>0，即数量积为正数，当θ＝90°，a·b＝0，即数量积为0；当90<θ≤180°时，a·b<0，即数量积为负数．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=|a|cs.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).
(5)|a·b|≤|a||b|.
(6)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
5.数量积的运算律
【探究】根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?
【提示】
向量数量积的运算律
特别提醒：
（1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
【做一做1】已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则( )
A.a＝b B.|a|＝|b|
C.a⊥b D.a∥b
解析：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.
答案：B
【做一做2】设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
A.1 B.2 C.3 D.5
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
答案：A
【设计意图】通过探究让学生理解向量的数量积运算，培养数学抽象、数学运算的核心素养。
（三）典型例题
1.向量的数量积的计算
例1.在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→)).
解：①因为eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且方向相同，所以eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角是0°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·cs 0°＝3×3×1＝9.
②因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为60°，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))的夹角为120°，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(DA,\s\up6(→))|·cs 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－6.
【类题通法】向量数量积的求法
求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
【巩固练习1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解：(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cs 120°－6×72 ＝－268.
2.求投影向量
例2.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．
解：向量a在向量e上的投影向量是|a|csθe=4cseq \f(2π,3)e=－2e.
因为与向量a方向相同的单位向量为=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|csθ=cseq \f(2π,3)=－a.
答案：－2e －a
【类题通法】向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cs θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝eq \f(b,|b|))中计算即可．
【巩固练习2】已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量是________．
解：向量a在向量b上的投影向量是|a|cs 60°＝4×eq \f(1,2)×b＝b.
答案：b
3.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题
例3.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,2) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－2a2,4a2)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝eq \f(2π,3)，故选C．
答案：C
【变式探究】本例中,若非零向量a，b的夹角为60°,且|b|=4|a|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0，化简得k+2(2k-1)-32=0，解得k=.
【类题通法】1.求平面向量夹角的方法:
(1)利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
2.非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
【巩固练习3】（1）已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
解：（1）设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cs θ－6|b|2＝62－6×4×cs θ－6×42＝－72，
所以24cs θ＝36＋72－96＝12，所以cs θ＝eq \f(1,2).又因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，所以θ＝eq \f(π,3).
（2）∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cs 90°－18＝0，
∴12λ－18＝0，∴λ＝eq \f(3,2).
4.利用数量积求向量的模
例4.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．
解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cs θ＝5×5×cs eq \f(π,3)＝eq \f(25,2)，
所以|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋b2＋2a·b)＝eq \r(25＋25＋25)＝5eq \r(3)，
|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2＋b2－2a·b)＝eq \r(25＋25－25)＝5.
【类题通法】根据数量积的定义a·a＝|a||a|cs 0°＝|a|2，得|a|＝eq \r(a·a)，这是求向量的模的一种方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根．对于复杂的向量也是如此．例如，求|a＋b|，可先求(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)，再取其算术平方根即为|a＋b|.
【巩固练习4】已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2
＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cs 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
（四）操作演练 素养提升
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
解析：m·n＝|m||n|csθ＝4×6×cs135°＝－24×eq \f(\r(2),2)＝－12eq \r(2).
答案：C
2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cs 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
答案：C
3.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6.
答案：B
4.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
解析：∵与b方向相同的单位向量为=，设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，∴|a|csθ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(12,5).∴向量a在向量b上的投影向量为|a|csθ=eq \f(12,5)·=b.
答案：b
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第20页 练习 第1，2，3题
第22页 练习 第1,2,3题
第23页 习题6.2 第18,19,20,21题
第二节 平面向量的运算
课时内容
向量的加法运算
向量的减法运算
向量的数乘运算
向量的数量积
所在位置
教材第7页
教材第11页
教材第13页
教材第17页
新教材内容分析
向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础。通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系。
实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量。
核心素养培养
通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养。
借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养。
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。
会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.
教学主线
平面向量的运算
定义
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up12(→))＝a，eq \(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
图示
范围
特殊
情况
a与b同向
a与b反向
a与b垂直，记作ab
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ
规定
零向量与任一向量的数量积均为0
交换律
a·b＝b·a
对数乘的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
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