人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第六节《空间直线、平面的垂直》。以下是本节的课时安排：
利用已经学习过的直线与平面垂直、直线与直线垂直的相关知识与研究思路，类比地研究平面与平面的垂直.
1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角，培养数学运算和直观想象的核心素养；
2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题，培养逻辑推理的核心素养；
3.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，培养数学抽象的核心素养；
4.能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题，提升逻辑推理的核心素养。
1.重点：掌握面面垂直的判定定理和性质定理
2.难点：会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系
平面和平面垂直的性质定理的应用
（一）新知导入
建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.
【问题】 (1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？
(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？
【提示】 (1)垂直关系.
(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.
（二）平面与平面垂直
知识点一 二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．
(3)画法：
(4)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q.
(5)二面角的平面角：
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，
则二面角α­l­β的平面角是∠AOB.
(6)二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°.平面角是直角的叫做直二面角．
【思考】在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？
【提示】由等角定理可知∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关。
【做一做】 如图，P是二面角α­l­β内的一点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角α­l­β的大小为 .
答案：100°
知识点二 平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
记作：α⊥β.
(3)判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
图形表示：
符号表示：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β.
【做一做】已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（ ）
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
答案：C
知识点三 平面与平面垂直的性质定理
文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言：
【拓展】平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
【辩一辩】判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.（ ）
（2）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（ ）
（3）若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
（4）若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )
（5）若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )
【答案】（1）× （2）×（3）× （4）√ （5）√
（三）典型例题
1.求二面角的大小
例1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
(1)求二面角B­PA­D平面角的度数；
(2)求二面角B－PC－D平面角的度数．
【解】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角．
又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°.
(2)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.
由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角.
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝eq \f(PB·BC,PC)＝eq \f(\r(6),3)a，BD＝eq \r(2)a.∴sin∠BEO＝eq \f(BO,BE)＝eq \f(\r(3),2).∴∠BEO＝60°，
∴∠BED＝120°.∴二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.
【类题通法】确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α­l­β的平面角．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．
【巩固练习1】如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
【解】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
2.平面与平面垂直的判定
例2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.
求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝eq \r(B1Ceq \\al(2,1)＋MCeq \\al(2,1))＝eq \r(2)，同理BM＝eq \r(BC2＋CM2)＝eq \r(2)，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
【类题通法】证明平面与平面垂直的方法有两个
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法．
【巩固练习2】过点S引三条线段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
【证明】如图，取BC的中点D，连接SD，AD，
由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，
所以△SAC，△SAB为正三角形，即有AB＝AC＝a，又BC＝eq \r(2)a，
所以三角形ABC为等腰直角三角形，所以AD⊥BC，又SD⊥BC，
所以∠ADS恰好为二面角S－BC－A的平面角.又SD＝AD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(\r(2),2)a，而SA＝a，
所以△SAD为直角三角形，∠SDA为直角，所以平面ABC⊥平面BSC.
3.平面与平面垂直的性质
例3. 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
【证明】过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC.
又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC.
∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC.
【类题通法】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题。
【巩固练习3】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【证明】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
（四）操作演练 素养提升
1、自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β
2.m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为( )
A.(1)(2) B.(3)
C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角D1­BC­D的平面角的大小为________．
4.如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A­BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．
【答案】1.D 2.B 3.45° 4.垂直
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第158页 练习 第1，2,3,4题
第161页 练习 第1，2,3,4题
第162页 习题8.6 第6,7,8,9题










8.6空间直线、平面的垂直
课时内容
8.6.1直线与直线垂直
8.6.2直线与平面垂直
8.6.3平面与平面垂直
所在位置
教材第146页
教材第149页
教材第155页
新教材内容分析
本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线，通过定理的探索过程，培养了学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。
本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。
通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
垂直关系的相互转化