人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示同步训练题

7.3.1 复数的三角表示式 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

复数的三角表示为：，其中，B选项满足.

故选：B.

2．（2022·福建安溪·高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

复数，因此，复数的辐角主值为.

故选：A.

3．（2022·江苏吴江·高一期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（    ）

A．1 B．0 C．-1 D．

【答案】C

【详解】

因为，

所以.

故选：C.

4．（2022·广东惠州·高一期中）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

所以 ，

故选：B

5．（2022·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】

由己知得，

∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．

故选：C．

6．（吉林省吉林市2022-2023学期高三上学期第二次调研测试数学（理）试题）若复数（，），则把这种形式叫做复数的三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角，则复数的三角形式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

复数的模为1，辐角为，

所以复数的三角形式为.

故选：A

7．（2022·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题知，的三角形式是，

结合诱导公式知，，

故选：B

8．（2022·全国·高一课时练习）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ）

A．若i，则i

B．若i，则i

C．若i，i，则i

D．若i，i，则i

【答案】A

【详解】

A. 若i，则ii，所以该选项正确；

B. 若i，则i，所以该选项错误；

C. 若i，i，则i，所以该选项错误；

D. i，i，则ii.所以该选项错误.

故选：A

二、填空题

9．（2022·全国·高一单元测试）设，，则的三角形式为___________.

【答案】

【详解】

因为，

，

所以

，

故答案为：

10．（2022·天津经济技术开发区第一中学高一期中）若复数，，则的辐角的主值为______．

【答案】.

【详解】

，

所以的辐角的主值为.

故答案为：.

11．（2022·全国·高一课时练习）已知复数，满足，，则______.

【答案】

【详解】

解：复数，满足，

令，

，，整理得，

又，

．

故答案为：．

12．（2022·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列法正确的是________．

①；

②当，时，；

③当，时，；

④当，时，若为偶数，则复数为纯虚数；

⑤

【答案】①③⑤

【详解】

对于①，，

所以，，而，则，

所以，，①正确；

对于②，当，时，，②错误；

对于③，当，时，，则，③正确；

对于④，当，时，取，则，④错误；

对于⑤，，⑤正确.

故答案为：①③⑤.

三、解答题

13．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知复数，，.

（1）若为实数，求角的值；

（2）若复数，对应的向量分别是，，存在使等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【详解】

解：（1），

为实数

∴，

又，所以，∴，即.

（2）因为，，所以，，所以

，

.

得，

整理得.

因为，所以.只要即可，

解得或.

14．（2022·全国·高三专题练习）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.

（1）画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；

（2）已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.

【答案】

（1）图象见解析，

（2）

（1）因为对应的点在第四象限，

所以对应的向量如图所示.

易得，，，

所以.

所以.

（2）因为，

所以.

又，，

所以.

所以.

所以，

，

.

B应考能力

15．（2022·全国·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数的辐角为；其中正确的命题个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】

解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；

对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；

对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；

对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，

故选：B

16．（2022·全国·高三专题练习（文））瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

得，

当时，，复数对应的点在第一象限；

当时，，复数对应的点在第二象限；

当时，，复数对应的点在轴上；

当时，，复数对应的点在第四象限；

故选：B．

17．（2022·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，

故选：C.

18．（2022·全国·高二专题练习）复数：.

（1）当时，求，；

（2）当时，若，求正整数的最小值.

【答案】（1），；（2）10.

【详解】

(1)，

于是得，而，且，则，

所以，；

(2)由(1)知：，

因，，于是得，则，即，，

所以正整数n的最小值为10.

C新素养 新题型

19．（2022·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】BCD

【详解】

解：

，

由，，

则，，

所以，

又因为恒成立，

所以，所以，

根据，

则，

因为，则，所以，

所以表示的复数位于复平面中的第一象限.

故选：BCD.

20．（2022·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若复数的虚部为，，则的实部为

D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为

【答案】AB

【详解】

解：对于A，，故A正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，

，

因为复数的虚部为，所以，

又，所以，

故，所以，

所以，

，

，

即的实部为，故C错误；

对于D，由题意，，

则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，

又，，

当，即时，取最大值，

所以三角形面积的最大值为，故D错误.

故选：AB.

21．（2022·广东荔湾·高二期末）在复平面内，复数对应向量为（O为坐标原点，）．设，射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则．数学家棣莫弗发现：设，则，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：，根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．当，时， B．当，时，

C． D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】BC

【详解】

解：对于A，当，时，，故选项A错误；

对于B，当，时，，

所以，故选项B正确；

对于C，，则，

所以，

又，

所以，故选项C正确；

对于D，当，时，，

取时，则为偶数，此时不是纯虚数，故选项D错误．

故选：BC．

22．（2022·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【详解】

对于A选项，，则，可得，，A选项正确；

对于B选项，当，时，，B选项错误；

对于C选项，当，时，，则，C选项正确；

对于D选项，，

取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.