必修 第二册7.2 复数的四则运算课后复习题

7.2.2 复数的乘、除运算  (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：复数代数形式的乘法运算

（1）复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为

，

即

（2）复数乘法满足的运算律

复数乘法的交换律、结合律、分配律

(交换律)

(结合律)

(分配律)

知识点2：复数代数形式的乘方

（1）复数的乘方

复数的乘方就是相同复数的乘积

（2）复数乘方的运算律

根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：

①

②

③

知识点3：共轭复数的性质

设，（）

①

②为实数

③且为纯虚数

④

⑤，，

知识点4：复数代数形式的除法运算

（1）定义

规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或

（2）复数的除法法则

（）

由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.

二、重点题型分类研究

题型1: 复数的乘、除运算

1．（辽宁省县级重点高中协作体2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题）复数的实部与虚部之和为（    ）

A．1 B．－1 C．3 D．－3

【答案】A

【详解】

解：因为，所以复数的实部与虚部之和为．

故选：A.

2．（2022·浙江杭州·高二期末）若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（    ）

A．2i B． C．2 D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，

所以复数的虚部为.

故选：D

3．（2022·广东茂名·一模）已知为实数，且(为虚数单位)，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知，解得，所以

故选：A

4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】

，且的乘方运算是以4为周期的运算

所以，

所以复数所对应的点，在第二象限.

故选：B

5．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，.

故选：.

6．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知复数为纯虚数，若（其中为虚数单位），则实数的值为___________.

【答案】##

【详解】

由可得，

若为纯虚数，则 可得，

故答案为：.

7．（2022·安徽·定远县育才学校高二期中（文））复数的值为________．

【答案】

【详解】

故答案为：

8．（2022·上海·高一单元测试）如果，那么＝________.

【答案】

【详解】

因为，故，所以，

故，故，

故答案为：.

题型2：与共轭复数有关的运算

1．（山东省淄博市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知复数是纯虚数，是实数，则（    ）

A．－ B． C．－2 D．2

【答案】B

【详解】

由题意设，

则，

因为是实数，所以，得，

所以，

所以，

故选：B

2．（2022·青海西宁·高三期末（文））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，所以，

故选：A.

3．（2022·河南省直辖县级单位·一模（理））若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

因为

所以

所以

，对应的点在第一象限

故选：A.

4．（2022·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上

【答案】D

【详解】

解：，

所以复数在复平面内对应的点为，

显然点在直线上.

故选:D

5．（2022·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，

所以，

所以，即

所以，其虚部为.

故选：D

6．（2022·上海普陀·模拟预测）复数（为虚数单位），则__．

【答案】

【详解】

，则

，

故答案为：.

7．（2022·重庆实验外国语学校高一阶段练习）为的共轭复数，如果，那么______．

【答案】

【详解】

由知，，

则

故答案为：

题型3：复数范围内的解一元二次方程问题

1．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x的二次方程有实根，为复数.求的模的最小值.

【答案】.

【详解】

设为方程的实根，则

，

当即时，.

2．（2022·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，求复数

【答案】

【详解】

设，则

所以，即

又

又，所以

所以，所以.

3．（2022·广东·清远市清新区凤霞中学高一期中）（1）在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位．，，计算与；

（2）若复数是方程的一个复数根，求

【答案】（1），；（2）

（1），

，即，

（2）由题，，即，所以，

故，即

4．（2022·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知关于的方程在复数范围内的两根为、．

（1）若，求、；

（2）若，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【详解】

（1）由题意得，，

∴，

∴，．

（2）已知关于x的方程的一根为，

所以，

所以，解得．

题型4：复数四则运算的创新应用

1．（2022·全国·高二专题练习（理））已知是复数，定义复数的一种运算“”：.当时，

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，

，

知，

故

故选：A.

2．（2016·上海市向明中学高二阶段练习）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题：

①对任意，都有；

②若是复数的共轭复数，则恒成立；

③，则；

④对任意，结论恒成立；

则其中真命题是（    ）

A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③

【答案】C

【详解】

对于①，当时，，所以①为假命题.

对于②，令，则，所以②为真命题.

对于③，由于②成立，而和不一定相等，所以③为假命题.

对于④，依题意，根据复数减法的模的几何意义可知，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离.根据三角形两边的和大于第三边可知，当对应的点在和对应的两点连成的线段上时，，所以成立. ④为真命题.

故选：C

3．(多选）（2020·江苏·南京市中华中学高二阶段练习）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，有如下四个命题：

①；            ②；

③；                ④．

则真命题是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AB

【详解】

由题意，故①正确；

，故 ②正确；

，，故③不正确；

，，故④不正确.

故选：AB

4．（2022·上海·高一课时练习）现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.

（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；

（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.

【答案】（1）证明见解析；（2）当，时，，推导过程见解析.

【详解】

（1）证：设（、）.

左

右

左=右，证毕.

（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量的方程的解.

设（、），

则，

即.

当，时，解得，，.

∴，

故，当，时，.