人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法综合训练题，文件包含44数学归纳法课后双测试卷-2022-2023学年高二数学同步精讲+检测人教A版2019选择性必修第二册解析版docx、44数学归纳法课后双测试卷-2022-2023学年高二数学同步精讲+检测人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
4.4数学归纳法  (时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（    ）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题【答案】B【分析】直接用数学归纳法证明即可．【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，故选：B．2.用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令即可得第一步需要验证的不等式，进而可得正确答案.【详解】因为，由数学归纳法可知：第一步需要证明时该不等式成立，所以第一步需要验证的不等式是，故选：B.3.用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【答案】C【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解.【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是（    ）A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】B【分析】将n＝1代入，可得左边计算的结果．【详解】当n＝1时，左边计算得出 故选：B5.用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（    ）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．从“到”左边需要增加的代数式是【答案】D【分析】根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.【详解】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.6.已知，则（    ）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，【答案】C【分析】根据，直接得出共有项，将n=2代入即可得出结果.【详解】中共有项，当n=2时，.故选：C7.已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.8.数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算，，，根据，排除ACD，再利用数学归纳法证明成立得到答案.【详解】，故，，，，，取得到，即，故排除ACD，现证明成立，当时，成立假设时成立，即，当时，，易知函数在上单调递增，故，即成立，故恒成立，同理可证.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在数列中，其前的和是 ，下面正确的是（    ）A．若 ，则其通项公式B．若，则其通项公式C．若，则其通项公式D．若，，则其通项公式【答案】BCD【分析】A根据的关系讨论、求通项公式即可；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D应用数学归纳法求证通项公式即可.【详解】A：时，，当时，，而，故错误；B：由题设，，，，，…，则，故正确；C：由题设，，而，则，即，故正确；D：假设成立，当时，，即成立；若时，成立，则时，，此时，则也成立，故正确.故选：BCD10.如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立【答案】BC【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项.【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（    ）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】AD【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD12.数列满足，，则以下说法正确的为（    ）A．B．C．对任意正数，都存在正整数使得成立D．【答案】ABCD【分析】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为，由得到结果；对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A，，若，则，又，可知，，又，，A正确；对于B，由已知得：，，B正确；对于C，由及A中结论得：，，，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；对于D，（i）当时，由已知知：成立，（ii）假设当时，成立，则，又，即，，综上所述：当时，，D正确.故选：ABCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．【答案】【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.14.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2【分析】证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，将n＝k＋1代入，化简可得答案．【详解】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.故答案为：25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋215.．已知数列的前项和为，满足，，则___________.【答案】【分析】利用和之间的关系，化简已知等式，求出数列前几项，猜想得到通项公式，最后利用数学归纳法证明即可.【详解】因为当时，有，因此由，可得，化简得：，因为,所以， ，由此猜想数列的通项公式为：，现用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设当时成立，即，当时，，综上所述：.故答案为： 16.若存在正整数，使得能被整除，则的最大值为________．【答案】.【分析】由，求得的值，猜想即可求解.【详解】由，可得，由此可猜想的最大值为.下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立；（2）假设当时，能被36整除，当时，，由假设可得能被36整除，又由是2的倍数，所以能被36整除，即当时，能被36整除，由（1）（2）可知，对于一切正整数都有能被36整除，所以的最大值为36.故答案为：.   四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．【答案】，证明见解析【分析】设即可求得（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，由（1），（2），（3）的值可求得，，；再用数学归纳法证明即可．【详解】设，（1），（2），（3）；假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，则（1），①，同理，由（2）得②，由（3）得③联立①②③，解得，，．．证明：当时，显然成立；假设时，，则时，，即时，结论也成立．综合，知，存在常数，，使得对一切自然数都成立．（12分）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当时，．证明：假设当时，等式成立，即．则当时，左边=右边．所以当时，等式也成立．由此得出，对任何，等式都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．证明，①当时，左边=，右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即．则当时，，．上面两式相加并除以2，可得，即当时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是【答案】（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，①证明当时，结论成立，②假设当时，结论成立，当时，应用归纳假设，证明时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立；（2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.（12分）设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*).（1）求x2，x3，x4的值；（2）归纳数列{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）x2＝，x3＝，x4＝；（2）xn＝，证明见解析.【分析】（1）由f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)可依次求出x2，x3，x4的值；（2）由x1，x2，x3，x4的值可归纳出xn＝，然后利用数学归纳法证明即可【详解】（1）x2＝f(x1)＝，x3＝f(x2)＝＝＝，x4＝f(x3)＝＝.（2）根据计算结果，可以归纳出xn＝.证明：①当n＝1时，x1＝＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立.②假设当n＝k(k∈N*)时，公式成立，即xk＝，那么，xk＋1＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，公式也成立.由①②知，当n∈N*时，xn＝.20.（12分）数列中，表示前n项和，且成等差数列．（1）计算的值；（2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1），，；（2），证明见解析.【分析】（1）根据，及等差中项的性质，代入计算，即可得答案.（2）猜测，根据数学归纳法的步骤，推理证明，即可得证.【详解】解：（1），由已知有，得，又，得；（2）由以上结果猜测：用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当时，，猜想成立（Ⅱ）假设当时猜想成立，则有，当时，，  时猜想成立由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对任意正整数n，猜想都成立．21.（12分）已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.证明an＜an＋1＜2(n∈N*)．【答案】证明见解析【分析】①当n＝1时，利用递推关系求得，验证命题正确．②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则利用作差法证明n＝k＋1时证明ak＋1－ak＋2＜0.利用配方放缩法证明ak＋2＜2，得到命题成立.利用数学归纳法原理即得证明.【详解】①当n＝1时，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，∴a1＜a2＜2，命题正确．②假设n＝k时，有ak＜ak＋1＜2，则n＝k＋1时，ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．而ak－ak＋1＜0，4－ak－ak＋1＞0，∴ak＋1－ak＋2＜0.又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，∴n＝k＋1时命题正确．由①②知，对一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.  22.（12分）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列的通项公式，再由数列的前项和为，进而求得的通项公式；（2）把的通项公式代入，首先利用数学归纳法证得，再利用放缩法及等差数列的前项和，即可证明.【详解】（1）由，是，的等差中项，可得，即，即，解得或，又因为，所以，又由，所以，因为数列的前项和为，当时，，当时，，当时，满足上式，所以，所以.（2）先用数学归纳法证明当，，①当时，，左式>右式，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，当时，，因为在上单调递增，由，得，即，可得，不等式也成立.由①②得证当，，所以.