高中数学湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体导学案

6．4.2　用样本估计总体的离散程度

教材要点

要点一　极差

将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将________与________之差称为极差，也称全距，用R表示．

要点二　方差

1．总体方差：若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差．

总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向μ集中得越好．

总体方差σ2也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小．

2．样本方差：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝______________为这n个数据的样本方差，也简称为方差．

样本方差s2刻画了样本数据相对于样本均值____________的程度．

要点三　标准差

标准差是方差的算术平方根．

s＝ .

如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差；如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差．

基础自测

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方差越大，数据的稳定性越强．(　　)

(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　)

(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．(　　)

(4)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．(　　)

2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)

A．平均数    B．中位数

C．方差      D．众数

3．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)

A．s3＞s1＞s2    B．s2＞s1＞s3

C．s1＞s2＞s3    D．s3＞s2＞s1

4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．

题型1　方差、标准差的计算

例1　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：

甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；

乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.

试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．

方法归纳

标准差、方差的意义

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

跟踪训练1　(1)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为(　　)

A．    B．

C．    D．2

(2)为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

题型2　方差、标准差的应用

例2　一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：

经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．

方法归纳

(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．

(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“ 好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．

跟踪训练2　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

①分别计算两组数据的平均数及方差；

②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

易错辨析　忽略方差的统计意义出错

例3　甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/km2)如下：

若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．

解析：由题意得＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，

＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝

＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝

＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，

甲、乙两种冬小麦的平均产量都为10 t/km2，且，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，故推荐引进甲种冬小麦大量种植．

【易错警示】

课堂十分钟

1．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

其中＝，则两个班数学成绩的方差为(　　)

A.3      B．2

C.2.6    D．2.5

2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)

3．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价．

6．4.2　用样本估计总体的离散程度

要点一

最大值　最小值

要点二

2. [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]　集中或离散

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．故选C.

答案：C

3．解析：所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.故选D.

答案：D

4．解析：因为＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，

所以s＝＝.

答案：

题型探究·课堂解透

例1　解析：＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，

＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，

s甲＝≈10.208.

＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，

同理＝128.8，s乙＝≈11.349.

跟踪训练1　解析：(1)由平均数为1可得＝1，解得a＝－1.所以样本的方差s2＝＝2.故选D.

(2)设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，

则平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，

方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.

从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35　①，

(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20　②.

由题意可知，样本数据均为整数，若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，因此这是不可能成立的．

若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.

答案：(1)D　(2)10

例2　解析：从不同的角度分析如下：

①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．②＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.同理得＝256.因为＜，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定．③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．

跟踪训练2　解析：①＝ (99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

＝ (99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

＝ [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

②两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又>，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

[课堂十分钟]

1．解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝

，则两个班数学成绩的方差为s2＝{20[2＋(－)2]＋30[3＋(－)2]}＝2.6，故选C.

答案：C

2．解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又因为丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．

答案：丙

3．解析：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.

＝＝13，

＝＝13，

＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，

＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.

(2)由＞可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．