高中数学湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体图片ppt课件

6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布

类型1　频率分布表的制作及应用

【例1】　(1)容量为20的样本数据，分组的频数如下表：

数据落在区间[10,40)的频率为________．

(2)已知一个样本数据：

27 23 25 27 29 31 27 30 32 31

28 26 27 29 28 24 26 27 28 30

以2为组距，列出频率分布表．

(1)0.45　[数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为＝0.45.故填0.45.]

(2)[解]　①计算极差：最大值为32，最小值为23，它们的差为32－23＝9.

②已知组距为2，决定组数：因为＝4.5，所以组数为5.

③决定分点：[22.5,24.5)，[24.5,26.5)，[26.5,28.5)，[28.5,30.5)，[30.5,32.5]．

④列频率分布表如下：

1．频率、频数和样本容量的关系为频率＝，利用此式可知二求一．

2．制作频率分布表的步骤

(1)求全距，决定组数与组距，组距＝；

(2)分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间(或左开右闭区间)，最后一组取闭区间；

(3)登记频数，计算频率，列出频率分布表．

提醒：(1)在制作频率分布表时，分组过多或过少都不好．分组过多会给制作频率分布表带来困难，分组过少虽减少了操作，但不能很好地反映总体情况．一般样本容量越大，所分组数应越多．

(2)所分的组数应力求“取整”．组数k＝，若k∈Z，则组数为k；否则，组数为大于k的最小整数，这时需适当增大全距，在两端同时增加适当的范围．

(3)在决定分点时，应避免将样本中的数据作为分点，常将分点的数值取比样本中的数据多一位小数．

1．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n等于________．

120　[某一组的频率等于该组的频数与样本容量的比．由于＝0.25，所以n＝120.]

2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

(1)列出频率分布表；

(2)估计寿命在100 h～400 h以内的电子元件所占的百分比．

[解]　(1)

(2)由频率分布表可以看出，寿命在100 h～400 h的电子元件出现的频率为0.65，因此我们估计寿命在100 h～400 h的电子元件所占的百分比为65%.

类型2　频率分布直方图、折线图的制作与应用

【例2】　有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1 L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1 L所行路程试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分组如下：

(1)完成上面的频率分布表；

(2)根据上表，在给定坐标系中画出频率直方图及频率折线图；

(3)根据上述图表，估计总体数据落在[12.95,13.95)中的可能性．

[解]　(1)频率分布表如下．

(2)频率分布直方图及频率折线图如图．

(3)根据上述图表，可知数据落在[12.95,13.95)中的频率为0.3＋0.4＝0.7，故总体数据落在[12.95,13.95)中的可能性为0.7.

1．制作频率分布直方图的方法步骤

(1)制作频率分布表．

(2)建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，纵轴表示.

(3)画矩形：在横轴上标明各组端点值，以相邻两点间的线段为底，作高等于该组的的矩形，这样得到一系列矩形，就构成了频率直方图．

2．频率折线图的制作步骤

(1)取每个矩形上底边中点．

(2)顺次连接各个中点．

(3)取值区间两端点需分别向外延伸半个组距，并取此组距上在x轴上的点与折线的首、尾分别相连．

3．解决频率分布直方图的相关计算

(1)×组距＝频率，即小长方形的高乘以宽即为落在相应区间数据的频率．

(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量．

提醒：频率分布直方图中，每个矩形的高为，面积为对应组的频率．

3．如图是容量为100的样本的频率直方图，试根据图中的数据填空：

样本数据落在[6,10)内的频率为________，样本数据落在[10,14)内的频率为________．

0.32　0.36　[样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，样本数据落在[10,14)内的频率为0.09×4＝0.36.]

4．通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如图，那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20,60)之间的人大约有________万．

116　[在频率分布直方图中，小矩形的面积表示频率，年龄在[20,60)之间的频率约为(0.018＋0.011)×20＝0.58,200×0.58＝116，故年龄在[20,60)之间的人大约有116万．]

1．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则m等于(　　)

A．40 B．30

C．20 D．10

C　[∵频率、频数的关系为：频率＝，

∴＝，

∴a＝0.1．

∵表中各组的频率之和等于1，

∴b＝1－0.9＝0.1，

∴m＝20.]

2．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为(　　)

A．10 B．15

C．20 D．30

D　[由频率分布直方图可知，各组的频率分别为0.05,0.1,0.15，x,0.4，故x＝1－0.05－0.1－0.15－0.4＝0.3，在区间[4,5)上的数据的频数为100×0.3＝30.故选D．]

3．在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)

A．39 B．35

C．15 D．11

D　[由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78.所以成绩在[13,15)内的频率为1－0.78＝0.22.则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D．]

4．容量为100的某个样本，数据拆分为10组，并填写频率分布表，若前七组频率之和为0.79，而剩下三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为________．

0.12　[设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1，而由频率总和为1，得0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12.]

5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： 

[11.5,15.5)，2; [15.5,19.5)，4；

[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；

[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；

[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.

根据样本的频率，估计大于或等于31.5的数据约占________．

　[根据各组数据可知，符合条件的数据占＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．画频率分布直方图大体分几步？

[提示]　求全距、决定组数和组距→分组→制作频率分布表→画频率直方图．

2．由频率直方图我们可以获取哪些信息？

[提示]　①组距、频率，倘若已知样本容量，我们可以计算每个区间上的样本数．

②可以粗略感知数据的分布情况．

3．频率分布直方图中，小矩形的面积和为多少？

[提示]　1．