2020-2021学年6.2 抽样导学案

这是一份2020-2021学年6.2 抽样导学案，共16页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

6．2.2 分层抽样
教材要点
要点一 简单随机抽样
1．随机抽样
如果在抽样过程中，能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这样的抽样叫作随机抽样．常用“任取”“随机抽取”“等可能抽取”等来表示．
2．简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中无放回地抽取n(n≤N)个个体为样本，如果总体内的每个个体都有________的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样．
3．简单随机抽样的分类
(1)抽签法：先把总体中的N个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取，如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．
(2)随机数法：先把总体中的N个个体依次编码为0，1，2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0，1，2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．
要点二 分层抽样
当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中________独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．( )
(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( )
(3)在使用随机数法时，各个个体的编号位数要相同．( )
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
(5)分层抽样中，若每层个体数较多，则也可以再用分层抽样．( )
(6)分层抽样就是简单随机抽样的一种抽取样本的方法．( )
2．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：
①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；
④01，02，03，…，100.
其中正确的序号是( )
A．②③④ B．③④ C．②③ D．①②
3．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层抽样 D．随机数法
4．一个班共有54人，其中男同学、女同学比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．
题型1 抽样方法的判断
例1 (1)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从50个零件中一次性抽取5个进行质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个进行质量检验
C．从实数集中随意抽取10个数分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机地抽取1个跑道
(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
方法归纳
(1)涉及简单随机抽样的判断，首先应分析所给抽样的特点，并与简单随机抽样的四个特点进行对比，看是否符合这些特点．若符合，则是简单随机抽样；若不符合，则不是简单随机抽样．
(2)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．
跟踪训练1 (1)下面的抽样方法为简单随机抽样的是( )
A．某工厂的质检员从一袋30个螺母中随机取出5个进行质量检测
B．某商品的市场调查员为了了解该商品某日在某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品
C．某班级有4个小组，每组共有12个同学，班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部
D．教练员从10名乒乓球运动员中选出2名成绩优秀的去参加国际比赛
(2)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．抽签法抽样
B．按性别分层抽样
C．按年龄段分层抽样
D．随机数法抽样
题型2 简单随机抽样的应用
角度1 抽签法的应用
例2 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程．
方法归纳
一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本量都较小时可用抽签法．若总体容量非常大，采用抽签法就比较费时、费力，也不方便，搅拌不均匀有失公平性，从而产生代表性差的样本的可能性增加．
角度2 随机数法的应用
例3 某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数法抽取样本，写出抽样步骤．
方法归纳
(1)编号要求位数相同，读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．
(2)第一个数字的抽取是随机的．
(3)读数的方向是任意的，且事先定好．
跟踪训练2 (1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为________．
8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
题型3 分层抽样的应用
例4 (1)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人、30人、30人 B．30人、45人、15人
C．20人、30人、40人 D．30人、50人、10人
(2)某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
方法归纳
(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．
(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝样本容量总体容量.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．
跟踪训练3 (1)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．
(2)某电视台在网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000，其中持各种态度的人数如下表所示：
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
易错辨析 对等可能性理解不透出错
例5 一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球入样的可能性是________；第三次抽取时，每个小球入样的可能性是________．
解析：因为简单随机抽样中，每个个体入样的可能性均为nN，所以某一特定小球入样的可能性是12.此抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球入样的可能性均为16；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球入样的可能性均为15；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球入样的可能性均为14.
答案：12 14
【易错警示】
课堂十分钟
1．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A.抽签 B．搅拌均匀
C.逐一抽取 D．抽取不放回
2．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是( )
A.从10台高清电视机中抽取3台进行质量检査
B.某学术报告厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
C.某单位有在编人员200人，其中行政人员25人、普通职工175人，为了解该单位的工资情况，要从中抽取一个容量为20的样本
D.某乡镇农田有山地8 000亩、丘陵12 000亩、平地24 000亩、洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全镇农田平均产量
3．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性( )
A.与第几次抽样有关，抽取的次序越往后，抽中的可能性越小
B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D.无法确定
4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用比例分配的分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照比例分配的分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？
6．2抽样
6．2.1 简单随机抽样
6．2.2 分层抽样
新知初探·课前预习
要点一
相同
要点二
所占比例
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
2．解析：根据随机数表法的步骤可知，①④编号位数不统一．
答案：C
3．解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．
答案：C
4．解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×59＝30(人)，女同学共有54×49＝24(人)，
所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝16.
答案：16 16
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A不是简单随机抽样，因为不符合简单随机抽样中逐个抽取的特点；B不是简单随机抽样，因为不符合简单随机抽样中不放回抽样的特点；C不是简单随机抽样，因为实数集的容量无限，不符合简单随机抽样中总体的个体数有限的特点；D是简单随机抽样，符合简单随机抽样的特点．故选D.
(2)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
答案：(1)D (2)B
跟踪训练1 解析：(1)由简单随机抽样的定义知A符合，B不是，被抽取的样本的总体个数不确定；C不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；D不是，因为参加比赛要选优秀的，所以10名运动员被抽取的可能性不同．
故选A.
解析：(2)该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女差异不大，所以按年龄段分层抽样具有代表性，比较合理．
故选C.
答案：(1)A (2)C
例2 解析：利用抽签法，步骤如下：
(1)将30辆汽车编号，号码是01，02，…，30；
(2)将号码分别写在同样大小形状相同的纸条上，揉成团，制成号签；
(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
(4)从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；
(5)所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
例3 解析：抽样步骤是：
第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39.
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从以下随机数表中的第3行第9列的数0开始．
66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85 11 19 92 91 70(第1行)
81 05 01 08 05 45 57 18 24 05 35 30 34 28 14 88 79 90 74 39 23 40 30 97 32(第2行)
83 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 55 57 48 18 73 05 38 52 47 18 62 38 85 79(第3行)
63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 85 75 18 28 46 82 87 09 83 40 12 56 24(第4行)
73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44 35 27 38 84 35(第5行)
第三步，从选定的数0开始向右读下去，得一个两位数字号码02，将它取出；继续向右读，得到02，由于前面已经取出，将它去掉；继续下去，去掉重复的号码，又得到05，16，18，38，33，21，35，32，28.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是02，05，16，18，38，33，21，35，32，28.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．
跟踪训练2 解析：(1)A中总体容量较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体容量较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体容量较大，不适宜用抽签法．故选B.
(2)生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8，44，2，17，8(重复，舍弃)，31……故选中的第5个个体的编号为31.
答案：(1)B (2)31
例4 解析：(1)根据各校人数比例为3 600∶5 400∶1 800＝2∶3∶1，样本量为90，可求出从甲校应抽取30人，从乙校应抽取45人，从丙校应抽取15人．故选B.
解析：(2)采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：
第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．
第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故抽样比k＝nN＝6012 000＝1200.
第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2 400×1200＝12(人)，在西城区抽取4 600×1200＝23(人)，在南城区抽取3 800×1200＝19(人)，在北城区抽取1 200×1200＝6(人)．
第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．
答案：(1)B (2)见解析
跟踪训练3 解析：(1)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.
(2)采用分层抽样的方法，抽样比为6012 000.
“很喜爱”的有2 435人，应抽取2 435×6012 000≈12(人)；
“喜爱”的有4 567人，应抽取4 567×6012 000≈23(人)；
“一般”的有3 926人，应抽取3 926×6012 000≈20(人)；
“不喜爱”的有1 072人，应抽取1 072×6012 000≈5(人)．
因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．
答案：(1)18 (2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：搅拌均匀是确保样本代表性的关键．
故选B.
答案：B
2．解析：B项中，由于各排人员对报告的看法差异较大，不宜采用简单随机抽样，C，D项中，各部分之间差异明显，不宜采用简单随机抽样．
故选A.
答案：A
3．解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
故选B.
答案：B
4．解析：因为300×44+5+5+6＝60，所以抽取60人．
答案：60
5．解析：用分层抽样方法抽样．因为20500＝125，所以200×125＝8，125×125＝5，50×125＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
最新课程标准
1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
2．通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．
3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．
学科核心素养
1.通过实例，抽象出简单随机抽样与分层抽样的概念．(数学抽象)
2．会恰当选用抽样方法解决实际问题．(数据分析)
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2 435
4 567
3 926
1 072
易错原因
纠错心得
造成第二个空填错的原因有两种：一是未完全理解简单随机抽样的等可能性；二是认为某一特定小球前两次未被抽到，则第三次被抽到的可能性是5×46×5×4＝16.
在简单随机抽样过程中，若样本量为n，总体容量为N，则每一个个体被抽到的可能性都是nN.需注意，将每一个个体入样的可能性与第n次抽取时每一个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误．