6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布

课标要求　结合实例，能用样本的频率分布直方图估计总体分布.

素养要求　结合实例用样本的频率分布直方图估计总体分布，发展学生的数学运算、逻辑推理及数据分析素养.

自 主 梳 理

频率分布直方图

(1)频率分布直方图能直观地反映样本的频率分布规律.

(2)随机抽样得到的样本的频率分布直方图是总体分布的近似.随着样本容量的不断增大，分组的组距不断缩小，频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布.

温馨提醒　(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标；

(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；

(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.(×)

提示　样本的平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.(×)

提示　频率分布直方图中小长方形的面积表示落在该组的频率.

2.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是__________.

答案　600

解析　由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为

(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，

所以所求分数小于60分的学生数为

3 000×0.2＝600.

3.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为________.

答案　22.5

解析　自左至右各小矩形的面积依次为0.1，0.2，0.4，0.15，0.15，设中位数是x，

则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，

得x＝22.5.

题型一　用频率分布直方图估计频率分布

例1 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：

(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？

解　(1)频率分布表如下：

频率分布直方图如图所示.

(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38，1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.

纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.

思维升华　频率分布直方图中各小矩形的面积表示各组的频率，故用小矩形的面积反映数据落在各个小组内的频率.

训练1 从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组长方形高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)样本的容量是多少？

(2)列出频率分布表.

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？求该小组的频数、频率.

(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生人数占总人数的百分比.

解　(1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为，，，，.

设该样本容量为n，则＝，所以样本容量为n＝48.

(2)由以上得频率分布表如下：

(3)成绩落在[70.5，80.5)之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和.

(4)不低于60分的学生人数占总人数的百分比约为×100%＝93.75%.

题型二　频率分布直方图的数字特征估计

例2 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的a，b的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论).

解　(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，

所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.

故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

(2)课外阅读时间落在[4，6)组内的有17人，频率为0.17，

所以a＝＝＝0.085.

课外阅读时间落在[8，10)组的有25人，频率为0.25，

所以b＝＝＝0.125.

(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.

思维升华　1.利用频率分布直方图估计总体数字特征：

(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标.

(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.

(3)平均数等于每个小矩形的高乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.

训练2 从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)作出这些数据的频率分布直方图：

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解　(1)频率分布直方图如图所示：

(2)质量指标值的样本平均数为：

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.

质量指标值的样本方差为：

s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

[课堂小结]

1.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

2.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.

一、基础达标

1.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2 700，3 000)内的频率为(　　)

A.0.001   B.0.1 

C.0.2   D.0.3

答案　D

解析　由图可知＝0.001，

∴频率＝0.001×300＝0.3.

2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)

A.588   B.480 

C.450   D.120

答案　B

解析　由图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，

故600×(1－0.2)＝480为不少于60分的学生人数.

3.某校为了解高三学生的身体情况，抽取了100名女生测体重.将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在[40，45) kg的人数是(　　)

A.10   B.2 

C.5   D.15

答案　A

解析　由图可知频率＝×组距，频率＝0.02×5＝0.1，

∴女生体重在[40，45) kg的人数为0.1×100＝10.

4.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在

80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的28 800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如下.则这28 800人中属于醉酒驾车的人数约为(　　)

A.8 640   B.5 760

C.4 320   D.2 880

答案　C

解析　酒精浓度80 mg/100 mL以上的频率为(0.01＋0.005)×10＝0.15，

故人数为28 800×0.15＝4 320(人).

5.(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是(　　)

A.成绩在[70，80)分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1 000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

答案　ABC

解析　由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；

由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；

因为成绩在[40，70)内的频率为0.45<0.5，[70，80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误.

6.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.

答案　24

解析　小于100 cm的频率为0.15＋0.25＝0.4.

∴60×0.4＝24.

7.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图所示)，现规定不低于70分为合格，则合格人数是________.

答案　600

解析　由频率分布直方图知合格的频率为(0.035＋0.015＋0.01)×10＝0.6，故合格人数为1 000×0.6＝600.

8.在某次综合素质测试中，共设有40个教室，每个教室30名考生，在考试结束后，为调查其测试前的复习情况与测试成绩的相关性，抽取每个教室中座位号为05的考生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图，则他们成绩的众数、中位数分别为________.

答案　77.5，77.5

解析　∵最高的矩形为第四个矩形，

∴他们成绩的众数为＝77.5，

∵前三个矩形的面积为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，

第四个矩形的面积为0.06×5＝0.3，

∴中位数为75＋＝77.5.

9.下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：

(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.

解　(1)列出样本频率分布表：

(2)画出频率分布直方图，如图所示.

(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为＝≈0.19.

所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.

10.中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比依次是2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是30.

(1)本次调查共抽调了多少名学生？

(2)如果视力在[4.85，5.15)属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？

解　(1)频率之比等于频数之比.

设第一小组的频数为2k，所以各组的频数依次为2k，4k，9k，7k，3k，

于是3k＝30，所以k＝10.

所以本次调查的抽样总人数为

20＋40＋90＋70＋30＝250(名).

(2)因为视力在4.85～5.15范围内的有70人，所以频率为＝0.28，

所以全市初中生视力正常的约有40 000×0.28＝11 200(人).

二、能力提升

11.为了了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5，3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________.

答案　25

解析　抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，

所以这10 000人中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的人数是

10 000×0.25＝2 500，

抽样比是＝，

则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×＝25.

12.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].则

(1)图中的x＝________；

(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿.

答案　(1)0.012 5　(2)72

解析　(1)由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，

解得x＝0.012 5.

(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20＝0.12，

因此估计有0.12×600＝72(人)可以申请住宿.

13.某市2022年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.

(1)完成频率分布表；

(2)作出频率分布直方图；

(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

解　(1)频率分布表如下：

(2)频率分布直方图如图所示.

(3)答对下述两条中的一条即可：

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的.

有26天处于良的水平，占当月天数的.

处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.

说明该市空气质量基本良好.

②轻微污染有2天，占当月天数的.

污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，

加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.

说明该市空气质量有待进一步改善.

三、创新拓展

14.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的频率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

解　(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天的日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的频率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为

1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48(m3).

该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为

2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35(m3).

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).