高中数学6.4 用样本估计总体导学案及答案

6．4.3　用频率分布直方图估计总体分布

6．4.4　百分位数

教材要点

要点　百分位数

1．定义：百分位数是位于按一定顺序排列的一组数据中某一个________位置的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的整数．一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有r%的观测值小于或等于它，且至少有(100－r)%的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，即Pr对应________数．

2．求一组观测数据的百分位数的一般步骤：

第一步：将所有数值按从小到大的顺序排列；

第二步：计算c＝n×r%；

第三步： 如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr是xm，如果c是整数，则所求的Pr是.

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．(　　)

(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)

(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)

(4)一组数据的第25百分位数与第75百分位数相同．(　　)

2．下列关于一组数据的第50分位数的说法正确的是(　　)

A．第50分位数就是中位数

B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%

C．它一定是这组数据中的一个数据

D．它适用于总体是离散型的数据

3．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是(　　)

A．14　　B．17

C．19    D．23

4．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70) km的汽车大约有________辆．

题型1　用频率分布直方图估计总体分布

例1　为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：

(1)作出频率分布直方图；

(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；

(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限．

方法归纳

频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，因为抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，所以可近似地估计在这一范围内的可能性．

跟踪训练1　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

题型2　百分位数的计算

例2　现有甲、乙两组数据如下表所示．

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

方法归纳

百分位数的关注点

(1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．

(2)第p百分位数的特点是：在总体中任一个数小于或等于它的可能性是p%.

跟踪训练2　求下列数据的四分位数．

13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.

题型3　百分位数的综合应用

例3　教育厅为了了解和掌握2021年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：

(1)求样本数据的60，80百分位数；

(2)估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数．

方法归纳

由频率分布直方图求百分位数的方法

(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．

(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．

跟踪训练3　某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为__________秒．

课堂十分钟

1．观察新生儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为(　　)

A．0.1    B．0.2

C．0.3    D．0.4

2．下列一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6的第25百分位数是(　　)

A．3.2    B．3.0

C．4.4    D．2.5

3．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)

A．6     B．8

C．12    D．18

4．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)

A．－2    B．0

C．1      D．2

5．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．

6．4.3　用频率分布直方图估计总体分布

6．4.4　百分位数

要点

1．百分　中位

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：由百分位数的意义可知选项B、C、D错误．

答案：A

3．解析：因为8×70%＝5.6，所以70%分位数是第六项数据23.故选D.

答案：D

4．解析：0.04×10×100＝40.

答案：40

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)频率分布直方图如图所示．

(2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，

所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台．

(3)由频率分布直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．

故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h．

跟踪训练1　解析：(1)第二小组的频率为＝0.08.

又因为第二小组的频率＝，

所以样本容量＝＝＝150.

(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.

例2　解析：因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15，

因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5，

甲组数的75%分位数为＝＝9.5.

乙组数的25%分位数为＝＝1，

乙组的75%分位数为＝＝12.

跟踪训练2　解析：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：

12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，

计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，

所以数据的第25百分位数为＝16.5，

第50百分位数为＝21，

第75百分位数为＝27.5.

例3　解析：(1)从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，

前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，

前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，

前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.

由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，

样本数据的80百分位数一定在第八组[115，120)内，

由115＋5×≈119.4，

估计样本数据的80百分位数约为119.4.

(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，

知90百分位数一定在第九组[120，125)内，

由120＋5×≈124.1，

估计2021年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.

跟踪训练3　解析：设成绩的70%分位数为x，

因为＝0.55，＝0.85，

所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，

解得x＝16.5(秒)．

答案：16.5

[课堂十分钟]

1．解析：由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)的频率为0.001×300＝0.3.故选C.

答案：C

2．解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8, 4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．故选A.

答案：A

3．解析：志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18，所以有疗效的人数为18－6＝12，故选C.

答案：C

4．解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2.故选D.

答案：D

5．解析：样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.

答案：