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高中数学湘教版(2019)必修 第一册6.4 用样本估计总体教案配套ppt课件
展开课后素养落实(五十六) 用样本估计总体的离散程度
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.下列选项中,能反映一组数据的离散程度的是( )
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.众数
C [由方差的定义,知方差反映了一组数据的离散程度.]
2.对一组样本数据xi(i=1,2,…,n),如将它们改为xi-m(i=1,2,…,n),其中m≠0,则下面结论正确的是( )
A.平均数与方差都不变 B.平均数与方差都变了
C.平均数不变,方差变了 D.平均数变了,方差不变
D [若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a≠0)的平均数为a+b,方差为a2s2,标准差为,则正确答案应为D.]
3.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为( )
A. B.
C.2 D.
D [∵样本a,0,1,2,3的平均数为1,∴=1,解得a=-1.则样本的方差s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故标准差为.故选D.]
4.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为:x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为( )
A.15 B.16
C.17 D.18
D [由题意得,=108, ①
=35.2, ②
由①②解得或所以|x-y|=18.故选D.]
5.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级 | 人数 | 平均分数 | 方差 |
甲 | 20 | 甲 | 2 |
乙 | 30 | 乙 | 3 |
其中甲=乙,则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为=甲=乙,则两个班数学成绩的方差为
s2=×[2+(甲-)2]+×[3+(乙-)2]
=×2+×3=2.6.]
二、填空题
6.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
平均数 | 8.5 | 8.7 | 8.8 | 8.0 |
方差s2 | 3.5 | 3.5 | 2.1 | 8.7 |
则参加奥运会的最佳人选应为________.
丙 [因为丙的平均数最大,方差最小,故应选丙.]
7.五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=________,这五个数的标准差是________.
5 [由=3得a=5.
由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2得,标准差s=.]
8.为了调查公司员工的健康状况,用分层抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg,标准差为60,男员工的平均体重为70 kg,标准差为50,女员工的平均体重为50 kg,标准差为60,若样本中有20名男员工,则女员工的人数为________.
200 [设男、女员工的层权分别为ω男,ω女,
由题意可知s2=ω男[s+(男-)2]+ω女[s+(女-)2],即ω男[502+(70-60)2]+(1-ω男)[602+(50-60)2]=602,解得ω男=,ω女=,
因为样本中有20名男员工,所以样本中女员工的人数为200.]
三、解答题
9.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 | 第1年 | 第2年 | 第3年 | 第4年 | 第5年 |
甲 | 9.8 | 9.9 | 10.1 | 10 | 10.2 |
乙 | 9.4 | 10.3 | 10.8 | 9.7 | 9.8 |
[解] 甲品种的样本平均数为×(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,样本方差为[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数为×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,样本方差为
[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷5=0.244.
因为0.244>0.02,所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
10.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50人,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
[解] 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高==45,
年龄的方差为s=[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
=×38+×45≈39.2(岁),
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2=[2+(38-39.2)2]+[73+(45-39.2)2]=20.64.
1.(多选题)若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是( )
A.平均数是10 B.平均数是11
C.方差为2 D.方差为3
BC [若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s,那么x1+a,x2+a,…,xn+a的平均数为+a,方差为s,故选BC.]
2.(多选题)某学校共有学生2 000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为= 3小时,方差为s2= 2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1=2.6,2=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s=1,s=2,s=3,则高三学生每天读书时间的平均数3可能是( )
A.3.2 B.3.3 C.2.7 D.4.5
BC [由题意可得
2.003=[1+(3-2.6)2]+[2+(3-3.2)2]+[3+(3-3)2],
解得3=3.3或2.7.]
3.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________(从小到大排列).
1,1,3,3 [不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1,x2,x3,x4为正整数.
由条件知
即
又x1,x2,x3,x4为正整数,
∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1,x2=x3=2,x4=3或x1=x2=1,x3=x4=3.
∵s==1,
∴x1=x2=1,x3=x4=3. 由此可得4个数分别为1,1,3,3.]
4.我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)直方图中a的值为________;
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值,这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3,后5组的方差都为0.4,则这100户居民月均用水量的方差为________.
(1)0.30 (2)1.113 6 [(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5, 2),[2, 2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2a×0.5,解得a=0.30.
(2)由题意可知,这9组月均用水量的平均数依次是1=0.25,2=0.75,3=1.25,4=1.75,5=2.25,6=2.75,7=3.25,8=3.75,9=4.25,
这100户居民的月均用水量为=0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.21×1.75+0.25×2.25+0.15×2.75+0.06×3.25+0.04×3.75+0.02×4.25=2.03,
则这100户居民月均用水量的方差为
s2=0.04×[0.3+(0.25-2.03)2]+0.08×[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15×[0.3+(1.25-2.03)2]+0.21×[0.3+(1.75-2.03)2]+0.25×[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15×[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06×[0.4+(3.25-2.03)2]+0.04×[0.4+(3.75-2.03)2]+0.02×[0.4+(4.25-2.03)2]=1.113 6.]
为提倡节能减排,同时减轻居民负担,某市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:
| 第一档 | 第二档 | 第三档 |
每户每月用电量(单位:度) | [0,200] | (200,400] | (400,+∞) |
电价(单位:元/度) | 0.61 | 0.66 | 0.91 |
例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费410×0.65=266.5(元),若采用阶梯电价收费标准,应交电费200×0.61+(400-200)×0.66+(410-400)×0.91=263.1(元).
为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户居民的11月用电量,工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别 | 月用电量 | 频数统计 | 频数 | 频率 |
① | [0,100] |
|
| |
② | (100,200] |
|
| |
③ | (200,300] |
|
| |
④ | (300,400] |
|
| |
⑤ | (400,500] |
|
| |
⑥ | (500,600] |
|
| |
合计 |
|
|
|
(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图;
(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N),按照合表电价收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2≤y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠?
[解] (1)频率分布表如下:
组别 | 月用电量 | 频数统计 | 频数 | 频率 |
① | [0,100] | 4 | 0.04 | |
② | (100,200] | 12 | 0.12 | |
③ | (200,300] | 24 | 0.24 | |
④ | (300,400] | 30 | 0.30 | |
⑤ | (400,500] | 26 | 0.26 | |
⑥ | (500,600] | 4 | 0.04 | |
合计 |
| 100 | 1 |
频率分布直方图如图:
(2)该100户用户11月的平均用电量
=50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324(度),
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.
(3)y1=0.65x,
y2=
由y2≤y1得或
或
解得x≤≈423.1.
因为x∈N,故x的最大值为423.
根据频率分布直方图,x≤423时的频率为0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.002 6=0.759 8>0.75,
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.
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