苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列达标测试

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列达标测试，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.3等比数列  苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯(    )A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏等比数列的各项均为正数，，是函数的极值点，则(    )A.  B.  C.  D. 已知等比数列前项和其中则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是(    )A. 数列不是等比数列
B. 时
C. 当时，
D. 已知等比数列的前项和为，记，若数列也为等比数列，则(    )A.  B.  C.  D. 数列，，，，的前项的和为(    )A.  B.  C.  D. 数列，满足，，，则数列的前项和为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列结论正确的是(    )A. 数列的前项和，则数列是等差数列．
B. 数列的前项和，则
C. 数列的前项和，则数列是等比数列．
D. 数列的前项和，则已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，，，，，则下列结论正确的是(    )A. 数列是等比数列
B. 数列的所有项之和为
C. 数列是等差数列
D. 数列的最大项为设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是 (    )A.  B.  C.  D. 已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是(    )A.  B.
C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则          ．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则          ．数列满足，，则数列前项和          ．等比数列的前项和为，若，，则          ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
等比数列中，，．
求的通项公式；
记为的前项和．若，求．本小题分
已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和本小题分已知数列满足，记，写出，，并求出数列的通项公式求数列的前项和．本小题分已知数列满足，．证明：是等比数列，并求的通项公式；证明：．本小题分已知等差数列中，公差为整数，其前项和为满足，且是和的等比中项．求的通项公式；设的前项和为，求．本小题分已知数列满足，，数列的通项公式是．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前项和公式的实际应用，属于基础题．
设这个塔顶层有盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前项公式列出方程，求出的值．【解答】解：设这个塔顶层有盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以为公比、为首项的等比数列，
又总共有灯盏，
，
解得，
则这个塔顶层有盏灯．
故选B．  2.【答案】 【解析】【分析】 
本题考查极值的概念及等比数列的性质，对数的运算法则．
因为，是函数的极值点，又，所以，是是方程的根，由根与系数的关系及等比数列的性质可求得答案．
【解答】
解：由题意可知．
因为，是函数的极值点，
所以，是方程的根，
故．又因为是各项均为正数的等比数列，
所以，
则．
故选D．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考察等比数列性质与基本不等式，属于中档题．
先利用与的关系求出的通项公式，再利用比数列性质求出，满足的代数关系。最后利用常数代换方法，求出的最小值。
【解答】
解：由题意，
又为等比数列，从而，即，化简得
从而，当且仅当，即时取等号。
故选C．  4.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，是方程的两根，可得，，可得，，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得利用性质可得：．【解答】解：，是方程的两根，
，，，，
根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，
．
．
故选B．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式的应用，等比数列的判定，通项公式以及前项和公式的运用，属于中档题．
由数列的递推公式结合，以及等比数列定义即可确定数列为首项为，公比为的等比数列，然后结合等比数列性质判断其它选项．【解答】解：由，以及得．
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A错误
由可得时，，故B错误
由可得当时，，，所以，故C正确
，，
则，故D错误
故选C．  6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查等比数列的第二项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
设等比数列的公比为，当时，数列不可能为等比数列；当，，，，由数列为等比数列，列出方程组，求出，，由此能求出．
【解答】
解：设等比数列的公比为，
当时，，，
，不可能为等比数列；
当，，
，
，
若数列为等比数列，
则必有，解得，，
．
故选D．  7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等差数列和等比数列的前项求和，以及分组转化求和法，属于中档题．
利用分组转化求和法把原式分为等差数列的和加等比数列的和，即可求解．【解答】解：
．
故选B．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等差数列通项公式、等比数列通项公式及求和公式，属于中档题．
根据题干所给条件写出数列，的通项公式，并写出数列，得知数列是等比数列，再用等比数列的前项和公式即可．【解答】解：数列，满足，，，
数列是等差数列，首项是且公差是，是等比数列，首项是且公比是，
数列的通项公式为，
数列的通项公式为，
则数列为，设，则，，
数列是等比数列，且公比为，首项为．
则数列的前项和为，
即数列的前项和为．
故本题选B．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查数列的前项和及与的关系，考查推理与运算能力，属于中档题．
，由数列前项和求出通项公式即可判断；
，，可知正确．
，由数列前项和，可知是等比数列；
，依题意，可得当时，来判断．【解答】解：，数列前项和，当时，，当时，，
数列不是等差数列，故A错误；
，，
，故B正确．
，数列前项和，
当时，，
当时，适合上式，
，，
是等比数列，故C正确；
项，若，则当时，，，故D项错误
故选BC．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查等差，等比数列的定义，利用赋值法解决二项式定理有关问题，属于中档题．
先利用二项式系数之和为求出，求出，，再逐一判断即可．【解答】解：由已知可得：，得，
所以则展开式的第项的系数为，
二项式系数为，，，，，，
对于，由可求得
则，
所以数列 不是等比数列，故A错误；
对于，令得，，故B正确；
对于，由，可得
则，
所以数列 不是等差数列，故C错误；
对于，易知最大，故D正确；
故选BD．  11.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，递推关系，不等式的性质，属于中档题．
根据等比数列的定义，性质，通项公式逐项分析即可．
【解答】
解：，，，
，，
，故A正确；
因为，故B不正确；
因为，所以无最大值，故C不正确；
因为，，数列为递减数列，
且，，所以是数列中的最大项，故D正确．
故选AD．  12.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查数列的递推关系，等比数列的判定及求和，属于中档题 
首先利用数列的递推关系求出时，，进而得数列是首项为，公比为的等比数列，可判断，再结合等比数列求和公式判断．【解答】解：对于，，当时，解得， 
当时，， 
则， 即数列是首项为，公比为的等比数列，故A，项正确； 
对于，由以上分析知，故B项错误；
对于， 
，
所以数列的前项和为，故D正确．
故选ACD．
   13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力．
设等比数列的公比为，由，，可得，，联立解出，，即可得出．【解答】解：设等比数列的公比为，易得，
，，
，，
解得，．
则．
故答案为：．
   14.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的前项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 
分情况讨论，排除，当时，根据等比数列的求和公式得到，解得，再根据，即可求出结果．【解答】解：等比数列求和公式是：
当时，，
因为，所以，
则，显然不符合题意；
当时，；
，，
，，，
，即，
；
则；
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式，以及分组转化求和法，属于基础题．
由题意，可得数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列，从而利用分组转化求和可得答案．【解答】解：由，可知，
数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，
数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列．
所以
．
故答案为：．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，属中档题．
先确定，再根据等比数列的通项公式和前项和公式列方程组进行计算即可．【解答】解：设等比数列的公式为，
若，则，，因为，所以，不符合题意，所以；
时，由题意可得
解得：，．
故答案为：．  17.【答案】解：等比数列中，，．
设等比数列的公比为，
，
解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，，或．
记为的前项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得． 【解析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的求和，考查运算求解能力，是中档题．
利用等比数列通项公式列出方程，求出公比，由此能求出的通项公式．
当，时，，由，得，，无解；当，时，，列方程由此能求出．
 18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知，得，而，所以，
又因为，解得，所以；
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，由此可得；
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
Ⅱ设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
得．
所以数列的前项和为． 【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力，属于中档题．
Ⅰ设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解和的通项公式；
Ⅱ化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
 19.【答案】解：，，
，又，
；
，则，
，
． 【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知可得求得，，由可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式；
由已知可得，求解即可．
 20.【答案】证明：由，
得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为，所以，因此的通项公式为由知：，所以，因为当时，，于是
，所以． 【解析】本题考查等比数列的判定和通项公式、求和公式，用放缩法证明不等式，属于中档题．
根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，又首项不为，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出的通项公式；
将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
 21.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为．
因为，
又是和的等比中项，所以，
即，
则，
又，故，
所以．
由得，
所以，
， 【解析】本题主要考查了等差数列与等比数列通项与性质及前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列的性质与等比中项的性质即可得出；
利用分组转化求和法，将等比、等差部分分别求和，可得．
 22.【答案】解：由，
得，
因为，所以，
所以，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以，即；
由知，
当为奇数时，，当偶数时，，
所以
． 【解析】本题考查了递推公式，等比数列的判定、通项公式、前项和公式，分组求和法，属于中档题．
由得，故数列是等比数列，首项为，公比为，求出的通项公式，进而得出的通项公式；
当为奇数时，，当偶数时，，，利用分组求和法求解即可．