2020-2021学年4.3 等比数列示范课ppt课件

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第4章 数列
4.3　等比数列
第一课时　等比数列的概念与通项公式
4.3.1　等比数列的概念
4.3.2　等比数列的通项公式
课标要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.熟练掌握等比数列的判断方法.
素养要求
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、等比数列的概念1.思考　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
2.填空
二
同一个常数
公比
q
温馨提醒　(1)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒.(2)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比尽管是一个与n无关的常数，却是不同的常数，那么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列.
3.做一做　 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　)A.－24 B.0 C.12 D.24
A
解析　由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
二、等比中项1.思考　如果－1，a，－9成等比数列，那么a为多少？提示　a2＝－1×(－9)，则a＝±3.2.填空　(1)前提：三个数a，G，b成等比数列.(2)结论：____叫作a，b的等比中项.(3)满足的关系式：G2＝______.
G
ab
3.做一做　4与16的等比中项是________.
±8
三、等比数列的通项公式1.思考　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
2.填空　(1)等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.
a1·qn－1
孤立
温馨提醒　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
C
3.做一做　等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝(　　)A.32 B.－48 C.48 D.96
解析　a5＝a1q4＝3×24＝48.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 在等比数列{an}中：
题型一　等比数列通项公式的应用
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
等比数列的通项公式的应用在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任意一项.
训练1 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)
C
C
D
题型二　等比中项及其应用
(2)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)A.b＝3，ac＝9B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9D.b＝－3，ac＝－9
B
等比数列中的任一项(除首项、末项外)都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项.
训练2 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是_________________.
2，4，8或8，4，2
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
9
解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，
即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
题型三　等比数列的判定
(2)求证：数列{an}是等比数列.
迁移1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*). (1)求证：{bn}是等比数列；
证明　∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
解　由(1)知，an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
训练3 (1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
解　因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N*均成立.将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)][2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，整理得(2－p)(3－p)＝0，解得p＝2或p＝3.
(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
课堂小结
1.牢记3个知识点(1)等比数列的概念.(2)等比数列的通项公式.(3)等比中项.
课堂小结
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.(多选)下列说法正确的有(　　)A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42，62，82，…成等比数列
AC
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32
C
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)A.4 B.8 C.6 D.32
C
C
5.(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的值可能是(　　)
BC
±4
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________.
80，40，20，10
8.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.
2n＋2
63
解析　由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
9.在等比数列{an}中.(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
解　(1)∵an＝a1·qn－1，∴4×2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解　∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比为2，通项公式为an＝2n或公比为－2，通项公式为an＝(－1)n－12n.
11.已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，则下列条件能使数列{an}是等比数列的是(　　)
C
解析　由f(x)＝logax(a>0，a≠1)，令y＝logax，可得x＝ay.故对A，有an＝a2n，非等比数列；对B，an＝an2，非等比数列；对C，an＝a2n，为等比数列；
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，若am≤128，则正整数m的最大值是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10
B
若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7，所以m≤8，正整数m的最大值是8.
13.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为(　　)
C