苏教版 (2019)第4章 数列4.3 等比数列教学ppt课件

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第4章 数列
第二课时　等比数列前n项和的性质及应用
课标要求
1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
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一、等比数列前n项和的性质1.思考　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
2.填空　(1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是______数列.
等比
q
温馨提醒　等比数列前n项和的性质分为三类：第一类是项数的“奇、偶”性，主要描述数列奇数项和与偶数项和之间的关系；第二类是“片段和”性质：一个等比数列依次等项数之和也成等比；第三类是“相关和”性质，即Sn＋m＝Sn＋qnSm.因此，在运用性质时，一定要认清条件适合用哪一条性质，以免出错.
3.做一做　思考辨析，判断正误
√
√
√
×
二、等比数列前n项和的实际应用1.思考　日常生活中的增长率、利润、利息、浓度匹配、养老保险等问题都与等比数列及其求和知识有关，如何解决这类问题？ 提示　解答这些问题时，应在认真审题的基础上先将问题数学化，然后再函数化，最后数列化，即用数列的知识和方法求解实际问题.
2.填空　(1)解等比数列模型的求和应用题，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情形，进而建立____________________，再求其和；三是寻找递推公式，把它转化为数列的问题. (2)解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的______数列、______数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解.在建模时要明确是求n，an，还是Sn.
等比数列求和的模型
等差
等比
C
3.做一做　中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为(　　) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A.28 B.32 C.21 D.28或－21
A
题型一　等比数列的连续n项之和的性质
解析　 ∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
迁移1 将例题中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“各项都为正数，Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值.
解　设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
迁移2 将例题中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.
法二　设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，∴b1(1＋q＋q2)＝56.
函数等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).
训练1 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
例2 已知一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
题型二　等比数列的不连续n项和的性质
解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
训练2 已知等比数列{an}的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.
解　设等比数列{an}的公比为q，项数为2n(n∈N*).
∴2n＝256，∴n＝8，即公比q＝2，项数n＝8.
B
题型三　等比数列前n项和的实际应用
A.2 B.3 C.4 D.1
(1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤：审题、抓住数量关系，建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).
训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
课堂小结
1.牢记1个知识点 等比数列的前n项和的性质.2.掌握2种方法(1)应用等比数列前n项和的性质时运用整体思想.(2)构建数学模型.3.注意1个易错点对于某些数列问题，必须充分挖掘题目中隐含的条件(如n是奇数还是偶数)，若忽略这些隐含条件将导致错误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
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1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为(　　) A.8 B.－2 C.4 D.2
D
2.已知一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12
B
C
ABD
5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的升数(　　)
D
6.正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于________.
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7.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，则当它第6次着地时，共经过的路程是________米.
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得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
9.已知等比数列{an}共有2n项，其和为255，且偶数项的和比奇数项的和大85，首项a1＝1，求此数列的公比和项数.
10.(1)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20；
解　(1)∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250.
(2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.
解　设数列{bn}的公比为q，则q＝2.
11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50
B
解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.
12.若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于(　　) A.200 B.120 C.110 D.102
D
13.某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行技术研发与广告投资方能保持原有的利润增长率.问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)
解　设该项目n年后资金数为an，n∈N*.则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，
∵lg 2≈0.3，∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.故经过12年后，该项目资金可达到或超过翻两番的目标.