苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列综合训练题
展开4.1数列 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 已知数列的通项公式，是数列的最小项，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 在等差数列中，，记，则数列( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
- 在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
- 在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
- 在数列中，，，通过求，猜想的表达式为．( )
A. B.
C. D.
- 已知函数的定义域为，当时，，对任意的，，成立，若数列满足，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
- 设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
- 在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三次有个球，，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列，则( )
A. B.
C. D.
- 数列的前项和为，已知，则．( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
- 已知数列满足，下列命题正确的有( )
A. 当时，数列为递减数列
B. 当时，数列一定有最大项
C. 当时，数列为递减数列
D. 当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
- 设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( )
A. 数列为等比数列
B. 数列的通项公式为
C. 数列为等比数列
D. 数列的前项和为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知数列满足，则 ．
- 已知数列，，则数列最小项是第 项．
- 已知数列满足，且，则 ．
- 在数列中，，，求数列的通项公式为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分
记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
证明：数列是等差数列
求的通项公式．
- 本小题分
记为数列的前项和，且，．
证明：数列是等差数列
求数列的通项公式．
- 本小题分
已知数列的前项和为，且
求的最小值；
求数列的前项和．
- 本小题分
已知数列的前项和，
求数列的前项的和；
求数列的通项公式；
求数列的前多少项和最大． - 本小题分
已知数列的前项和为，若．
求，，；
求数列的通项公式． - 本小题分
已知数列满足，，．
设，求数列的通项公式；
求为何值时，最小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数列的递推关系，数列的函数特征，属于中档题．
由题意，，，即，，然后进行求解即可．
【解答】
解：由题意，，，
即，，
当时，，将，，分别代入求解，
解得
当时，，令，在定义域内显然为增函数，解得，
综上，
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值，进一步分析得答案．
【解答】
解：设等差数列的公差为，由，，得，
．
由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前项为负值，自第项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于，且逐渐减小．
数列有最大项，无最小项．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的递推关系式求出数列是周期为的周期数列，从而．
本题考查利用数列的递推公式求数列的项，数列的周期性，考查运算求解能力，是一般题．
【解答】
解：在数列中，，，
，
，
数列是周期为的周期数列，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．
求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．
【解答】
解：数列中，，，
，，，，
所以数列的周期为，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的前项和与第项的关系、考查归纳推理，属于中等题．
利用时，求出，即可求出结果．
【解答】
解：，，
，解得，
，解得，
，解得，
猜想表达式为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的性质和数列求通项，属于中档题．
判断的单调性可得，从而可得是等比数列，求出的通项公式即可得出结论．
【解答】
解：在中，
令，可得，
，，
设，则，
，
，
，
，在上单调递减，
，，
，
，又，
是为首项，以为公比的等比数列，
，
，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的单调性以及分段函数的单调性．
根据题意可知函数在上是减函数，结合函数的解析式可得关于的限制条件，解出即可．
【解答】
解：数列是单调递减数列，即有，也即，
所以函数在上是减函数，故有，解得．
所以实数的取值范围是
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数列的通项公式及其周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得：，通过计算，可得：，进而得出结论．
【解答】
解：数列满足，，
，，，，，
可得：，
则，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数列的递推式，同时考查了学生的计算求解能力，是一般题．
由题意可知，，，，，根据逐个判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：由题意可知，，，，，
，
，，故选项A错误，选项C正确，
，，故选项B正确，
，，
显然，故选项D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题．推导出，再由，由此能求出结果．
【解答】
解：数列的前项和为，，当时，，
时，，
当时，，，是递减数列，故A错误；
，故B正确；
当时，，故C正确；
，当或时，取得最大值，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了数列的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由，再根据的条件讨论即可得出．
【解答】
解：，当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故A不正确；
，当时，，当时，，
时，，时，，因此数列一定有最大项，故B正确；
，当时，，．
因此数列为递减数列，故C正确；
，当为正整数时，当时，，所以数列必有两项相等的最大项，故D正确．
故选BCD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系、等比数列的判定与通项公式，属于中档题．
根据递推关系变形，得到是等比数列，进而求出数列的前项和，进而分析选项即可．
【解答】
解：由题意，，
故数列为首项为，公比为的等比数列，则，故A正确；
则当时，，
当时，，故，故B错误，
由，，故C错误，
数列的前项和为
，故D正确；
故选AD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了数列的递推式，做题时注意验证首项，是中档题．
令求出的值，再利用，
，相减求出，验证首项即可．
【解答】
解：当时，由已知，可得，
当时，
，
故，
由得，
．
显然当时不满足上式，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
先将通项变形为，利用反比例函数的单调性判定出数列的单调性，求出最小值．
本题考查了数列的函数特性、反比例函数的单调性，属于一般题．
【解答】
解：
由反比例函数的单调性可知，当时，单调递减，此时；
当时，单调递减，此时；
当时最小．
故答案为：
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题．
【解答】
解：因为数列满足，且，所以，
所以
．
16.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查数列的通项公式的求法，考查化简运算能力，属于一般题．
由，可得，时，将换为，相减，可得所求．
【解答】
解：，，
可得时，，
时，，
，
两式相减可得，
化简可得，
可得，
则，，
故答案为，．
17.【答案】解：证明：当时，，由，解得，
当时，，代入，消去，可得，
所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．
由题意，得，
由可得，
由，可得，
当时，，显然不满足该式，
所以．
【解析】本题考查了等差数列的判定和通项公式，数列的递推关系，属于中档题．
根据当时，，当时，将，代入，可得，进一步得到数列是等差数列；
由可得，代入已知等式可得，当时，，进一步得到数列的通项公式，注意的情况．
18.【答案】解：因为，
所以
，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
由得，
所以，
当时，；
当且时，，
又不适合上式，
故数列的通项公式为．
【解析】本题考查由数列的递推关系求通项公式，等差数列的证明及通项公式，属于中档题．
通过证明为常数，即可证明数列为等差数列；
由求得，利用，即可求得数列的通项公式．
19.【答案】解：数列的前项和为，且，
，
又
当或时，取得最小值，且最小值为；
当时，，
所以，
当时，满足上式，
所以，
由，解得，于是数列前项为负，第项为，第项到项为正，
所以数列的前项和为：
．
【解析】本题主要考查了数列前项和的最值取得条件的应用，考查了数列的通项公式，属于中档题．
根据题意得到即可；
当时，，得到进而得到数列前项为负，第项为，第项到项为正即可．
20.【答案】解：根据题意，数列的前项和，
则其前项的和；
数列的前项和，
当时，，
当时，；
综合可得：；
根据题意，数列的前项和，
易得，当时，取得最大值，且其最大值为．
【解析】将代入公式，计算可得答案；
根据题意，当时，，可得的值，当时，，求出的表达式，综合可得答案；
根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查数列的递推公式，涉及数列前项和与通项公式的关系，属于基础题．
21.【答案】解：；
，
所以；
，
所以；
当时，
．
当时，，不满足上式，
所以．
【解析】本题考查由数列前项和求通项公式的方法，考查数学运算能力，属于中档题．
依据可解决此问题；
依据当时，，可解决此问题．
22.【答案】解：由且，即，
即又，，所以．
当时，
，当时，上式也成立．所以数列的通项公式为；
由可知．
当时，，即；
当时，；当时，，即，
所以当或时，的值最小．
【解析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式，与数列的最大小项问题，属于中档题．
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