高中4.3 等比数列同步训练题

这是一份高中4.3 等比数列同步训练题，共5页。

1．(多选)下列说法正确的有( )
A．等比数列中的项不能为0
B．等比数列的公比的取值范围是R
C．若一个常数列是等比数列，则公比为1
D．22，42，62，82，…成等比数列
解析：选AC A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，故不是等比数列，D错．
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于( )
A．－2 B．2
C．－8 D．8
解析：选BD 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝2b，,a＋b＋c＝12，,a（c＋2）＝b2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4，,c＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝4，,c＝0.))
故a＝2或a＝8.
4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)的值为( )
A.eq \f(\r(5)＋1,2) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(1－\r(5),2) D.eq \f(\r(5)＋1,2)或eq \f(1－\r(5),2)
解析：选B 设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝eq \f(\r(5)＋1,2)或q＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq \f(1,q)＝eq \f(\r(5)－1,2).故选B.
5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq \\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
6．已知{an}是等比数列，a1＝eq \f(1,2)，a2＝4，则a3＝________，a1a2a3a4a5a6＝________．
解析：因为数列{an}是等比数列，且a1＝eq \f(1,2)，a2＝4.
所以等比数列{an}的公比q＝eq \f(a2,a1)＝8，
所以a3＝a2q＝4×8＝32，
所以a1a2a3a4a5a6＝(a3)5·a1q5＝325×eq \f(1,2)×85＝239.
答案：32 239
7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．
解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，
∴q5＝eq \f(1,32)，∴q＝eq \f(1,2).
∴这4个数依次为80，40，20，10.
答案：80，40，20，10
8．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则2和8的等比中项为________；若两个数a－1，a＋4的等比中项为a＋1，则a＝________．
解析：由等比中项定义知2和8的等比中项为±4，
又(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，即a＝5.
答案：±4 5
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝eq \f(1,2)an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
∴数列{an}是等比数列．
10．在等比数列{an}中．
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
解：(1)∵an＝a1·qn－1，∴4×2n－1＝128，
∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
[B级 综合运用]
11．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是( )
A．等差数列
B．以q为公比的等比数列
C．以q2为公比的等比数列
D．以2q为公比的等比数列
解析：选C 因为eq \f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq \f(an＋2,an)＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．
12．(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)
解析：选BC 由题意可设三角形的三边分别为eq \f(a,q)，a，aq(aq≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，所以当q>1时，eq \f(a,q)＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1eq \f(a,q)，即q2＋q－1>0，解得eq \f(－1＋\r(5),2)综上，q的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，1))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(5),2)))，则可能的值是eq \f(3,2)与eq \f(3,4).
13．设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝12，,a1－a1q2＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))
∴an＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－4).
∴a1a2…an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－3－2－1＋0＋1＋…＋（n－4）)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \f(n（n－7）,2)Ｋ.
令f(n)＝eq \f(1,2)n(n－7)＝eq \f(1,2)(n2－7n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(49,8)，
∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝－6，
∴a1a2…an的最大值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－6)＝64.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－4) 64
14．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是不是为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解：(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2（n＋1）,n)an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，
而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，
所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[C级 拓展探究]
15．设等比数列{an}的通项公式为an＝3n，求出a2·a7，a3·a6并比较它们的大小，你能由此总结出一个一般性的结论并给出证明吗？
解：因为a2·a7＝32×37＝39，
a3·a6＝33×36＝39，
所以a2·a7＝a3·a6.
一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数 s，t，m，n满足s＋t＝m＋n，则as·at＝am·an，
特别地如果2s＝m＋n，则aeq \\al(2,s)＝am·an.
证明：因为as·at＝a1qs－1·a1qt－1＝aeq \\al(2,1)qs＋t－2，
am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aeq \\al(2,1)qm＋n－2，
又因为s＋t＝m＋n，所以as·at＝am·an，
特别地当s＝t时，aeq \\al(2,s)＝am·an.