苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念课时训练

5.1导数的概念 苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知曲线在点处的切线的斜率，则点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

2. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 已知曲线在点处的切线的斜率，则点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

4. 甲、乙两人走过的路程，与时间的关系如图所示，则在这个时间段内，甲、乙两人的平均速度，的大小关系是(    )

A.
B.
C.
D. 大小关系不确定

5. 与在上的平均变化率分别为，，当时，的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图，在时间段 上的平均速度分别为，则三者的大小关系为 (    )

A.  
B.
C.
D.

7. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

则下列的结论正确是(    )

A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．

10. 小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系表示如图，记时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的有(    )

A.
B.
C. 对于，存在，使得
D. 整个过程小明行走的速度一直在加快

11. 下列命题中是真命题有(    )

A. 若，则是函数的极值点
B. 函数的切线与函数可以有两个公共点
C. 函数在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是

12. 多选下列命题正确的是(    )

A. 若，则函数在处无切线
B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 曲线在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是__________．
14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．
15. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则          ．
16. 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是_________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知曲线．

若曲线在点处的切线与直线平行且距离为，求直线的方程

求与曲线相切，并过点的直线方程．

18. 本小题分

已知点为函数图像上的一点，为坐标原点，点为曲线段上一动点，求的面积的最大值．

19. 本小题分

已知函数图象上两点、．

若割线的斜率不大于，求的范围；

求函数的图象在点处切线的方程．

20. 本小题分

已知函数．

求曲线在点处的切线方程；

求证：

21. 本小题分

已知函数．

用导数的定义求出函数的导函数；

过点作曲线的切线，求此切线的方程．

22. 本小题分

某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为．求：

这段时间内的平均速度；

时的瞬时速度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
先利用求导公式求出的导数，再利用已知条件求出的值，即可得出结果．

【解答】

解：因为，
所以．
由题意，知切线斜率，
令，
得或．
当时，；
当时，．
故点的坐标是或．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的概念和几何意义，函数图像的应用，属于基础题．
由题意知函数是上单调递增的凸函数，逐项分析即可得解．
【解答】
解：，则函数在上单调递增，且，，A错误；
对，，且，总有，则是凸函数，
不妨假设的图像如图所示：

且反映了函数图象上各点处的切线斜率，
由图可知，，B错误；
，表示点和点的连线的斜率，
由图可知，，C错误，D正确．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
先利用求导公式求出的导数，再利用已知条件求出的值，即可得出结果．

【解答】

解：因为，
所以．
由题意，知切线斜率，
令，
得或．
当时，；
当时，．
故点的坐标是或．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平均变化率，属于基础题．
由平均变化率的几何意义知，，所以．

【解答】

解：设直线，的斜率分别为，，由平均变化率的几何意义知，
在上的平均速度，
在上的平均速度．
因为，所以．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，求出、的值，由可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查函数平均变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，对于，在上的平均变化率，
对于，在上的平均变化率，
若，即，解可得，
故的取值范围为，
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平均变化率．
由平均变化率的定义知 ，，，由图象知：，故可选．

【解答】

解： ，

，

，

由图象知：，

所以．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的概念及导数的几何意义，由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解．

【解答】

解： ， 

 ，
 ，
即曲线 在点处的切线的斜率是．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的概念及导数的几何意义，由已知及导数的定义得，然后由导数的几何意义即可求解．

【解答】

解： ， 

 ，
 ，
即曲线 在点处的切线的斜率是．
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数图像的应用以及平均变化率，瞬时变化率的定义和导数的几何意义，属于基础题．
根据题设条件以及函数图像运用平均变化率，瞬时变化率的定义和导数的几何意义对各选项逐一做出判定即可得到正确结论．
【解答】
解：图示为甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系．
所以，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同选项A正确
，在时刻，甲乙二人在时刻的切线斜率不相等，即二人的不相等，所以在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相等，故选项B错误
，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同均为选项C正确
，在，两个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率分别为，显然不相等所以选项D正确．
故选ACD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的应用，导数的物理意义与几何意义，基本不等式的应用，属于中档题．
由图可知，求出区间，，上的平均速度，，，判断；利用基本不等式判断；由图作曲线的切线判断，观察曲线上点切线的斜率判断．

【解答】

解：对于，设，，由图可知，
，，，
，，故A正确；
对于，，，
等号不成立，
，故B正确；
对于，由图根据导数的几何意义可得对于，存在，使得，故C正确；
对于，由图结合导数的几何意义可知，小明行走的速度开始在段逐步加快，在段又逐步减慢，故D错误．
故选ABC．

 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是导数的综合应用，属于基础题．
可结合反例根据导数的几何意义逐个排除判断．
【解答】
解：选项A，若，不一定是函数的极值点，
例如函数，，但不是极值点，故错误；
选项B，函数的切线与函数可以有两个公共点，
例如函数，在处的切线为与函数还有一个公共点为，故正确；
选项C，因为函数在处的切线方程为，
所以，
又 
，所以错误；
选项D，因为函数的导数，
则，得，
令，
所以函数在上单调递减，
又，
由不等式得，得，
所以不等式的解集是，故正确．
故选BD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查导数的概念，几何意义和在曲线上一点的切线方程的求法，属于中档题．
由题意结合知识点，逐个选项分析运算即可．
【解答】
，由导数的几何意义知是曲线在处切线方程的斜率，
所以是指曲线在处切线方程的斜率为，选项A错误
，函数的切线与函数可以有两个公共点，
例如，函数满足，，，
故在处的切线方程为，即，
联立解得或
所以与函数有两个公共点，选项B正确；
，因为函数在处的切线方程为，所以，
所以 ，选项C错误
，因为函数的导数且，
所以，故切线方程为即，选项D正确．
故选BD．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数定义及几何意义，考查极限的定义及运算，属于中档题．
依题意求出，再由导数的几何意义即可解题．
【解答】
解：因为

，所以，

则曲线在点处的切线斜率为，即，

又所以所求切线的倾斜角为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．
先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．

【解答】

解：设与和的切点分别为、；
，
，，
，
，
切线方程分别为，即为，
或，即为，
，
解得，
，
故答案为：．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，属于拔高题．
先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可

【解答】

解：设与和的切点分别为、；
，，
函数的导数为，函数的导数为，
，
，
切线方程分别为，即为，
或，即为，
，
解得，
，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了导数的定义和基本不等式的应用，属于中档题．
利用导数的定义和基本不等式求解即可．
【解答】
解：由题意知，
，设切点为，
则，得到，
，
，
当且仅当时取等号，
故的取值范围是
故答案为：．  

17.【答案】解：因为，

所以，

所以切线的斜率为，切线方程是，即．

设，则，

所以，所以或，

所以直线的方程为或．

因为点不在曲线上，设切点为，则有．

又由，知，所以所求的直线的斜率为，

所以切线方程为．

又，，所以，

故切线方程为．

【解析】本题考查导数的基本概念，导数的几何意义以及两平行直线间的距离．
由导数的基本概念，导数的几何意义可求得切线的斜率为，切线方程
是再由平行线间距离公式可得，即可求解；

因为点不在曲线上，设切点为，则有可得，

所以切线方程为又，，联立求解，即可得答案．

18.【答案】解：由，得，

，

直线的斜率为．

如图，将直线平移至直线，使得直线与的图像相切于点，此时的面积最大．

设，则直线的斜率为．

又，

，解得，故，即．

点到直线的距离，

，

的面积的最大值为．

【解析】本题主要考查导数的基本概念，导数的几何意义，属于中档题．
根据题意，求出直线的斜率，将直线平移至直线，使得直线与的图像相切于点，可知此时的面积最大，据此求解即可．
 

19.【答案】解：由题意得，割线的斜率为

，

由，得，

又因为，所以的取值范围是．

由知函数的图象在点处切线的斜率为

，

又，

所以切线的方程为，

即．

【解析】本题考查导数的概念以及几何意义；
由题意得，割线的斜率为，由已知解析式代入化简得到所求．

由知函数的图象在点处切线的斜率为

，利用点斜式求出切线方程．

20.【答案】解：依题意，，

故有，

故所求切线方程为，即．

由得整理得，

化简得，

令，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，即恒成立，

所以恒成立．

【解析】本题考查导数的切线方程以及不等式证明，属于中档题．

对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程

由化简得，由导数可知存在极小值点，即最小值，即可证明原不等式．

21.【答案】解：
，
，
设切点坐标为，
则切线方程为，
切线过点，
，
化简得，即
或．
切线的方程：或． 

【解析】本题考查了导数的基本概念和导数的几何意义，是基础题．
计算，再取极限可得函数的导函数；
设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线的点斜式方程，将点代入方程，解得，即可得解．
 

22.【答案】解：，，
．
，
所以
即时的瞬时速度为． 

【解析】本题考查平均变化率与瞬时变化率，平均变化率可以用位移变化量除以时间变化量，瞬时变化率利用极限求值，属于基础题．
根据平均变化率的公式求解即可；
根据瞬时变化率的公式求解即可；