高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列教案设计，共6页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.进一步熟练掌握等比数列的前n项和公式；
2.经历公式应用的过程，会将实际问题转化为数学问题，建立数列模型；
3.通过等比数列前n项和公式的应用，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养.
教学重难点
重点：应用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立数列模型．
教学过程
一、新课导入
回顾：能否说出我们上节课学习的等比数列的前n项和公式？
Sn=na1， q=1，a1(1−qn)1−q， q≠1且q≠0.
公式变形：
当q≠1时，Sn=a1(1−qn)1−q=a1−a1qn1−q=a1−anq1−q.
注意：等比数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公比q，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”．
问题1：如何选择公式能让运算过程更简便呢？
答案：当q≠1时，已知首项a1，公比q，项数n，选择公式Sn=a1(1−qn)1−q；
已知首项a1，公比q，末项an，选择公式Sn=a1−anq1−q.
当q=1时，选择公式=na1.
设计意图：通过回顾等比数列的求和公式并进行两个求和公式的比较，让学生进一步熟悉上节课所学内容，为本节课作准备．
二、新知探究
问题2：前面我们已经研究了等比数列的哪些问题？类比等差数列的研究思路，想一想接下来我们应该研究等比数列的什么问题呢？
答案：
探究：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
追问1：每年生活垃圾的总量之间有什么关系？
答案：第一年：20+20×5%=20(1+5%)万吨；
第二年：201+5%+[20(1+5%)×5%=20(1+5%)2万吨；
第三年：20(1+5%)2+[20(1+5%)2×5%=20(1+5%)3万吨；
……
从今年起每年生活垃圾的总量构成以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列.
追问2：每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？
答案：第一年：6+1.5万吨；
第二年：6+1.5+1.5=6+1.5×2万吨；
第三年：6+1.5×2+1.5=6+1.5×3万吨；
……
从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以6+1.5为首项，1.5为公差的等差数列.
追问3：怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？
答案：设每年生活垃圾的总量构成的数列为{an}，每年以环保方式处理的垃圾量构成的数列为{bn}，则每年通过填埋方式处理的垃圾总量构成的数列为{an−bn}.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an=20(1+5%)n=20×1.05n，bn=6+1.5n.
Sn=a1−b1+a2−b2+…+an−bn
=a1+a2+…+an−(b1+b2+…+bn)
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n−(7.5+9+…+6+1.5n)
=(20×1.05)×(1−1.05n)1−1.05−n(7.5+6+1.5n)2
=420×1.05n−34n2−274n−420
当n=5时，S5≈63.5.
从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
说一说：试着梳理出上述探究中将实际问题转化为数学模型的过程？
答案：
方法总结：
解数列应用题的一般步骤：
(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，或是含有递推关系的数列问题；
(2)将实际问题抽象为数学问题，抓住数量关系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关
系用数学式子表达，建立数列模型；
(3)明确是求an，还是求Sn.
设计意图：通过问题探究让学生了解等比数列的应用，熟悉解数列应用题的一般步骤，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养．
三、应用举例
例1 为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将6370万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增12%，那么经过6年该地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
思考：每年退耕土地面积构成什么数列？
答案：第1年退耕土地面积：515万亩；
第2年退耕土地面积：515×(1+12%)万亩；
第3年退耕土地面积：515×1+12%×1+12%=515×1+12%2万亩；
……
构成首项为515，公比为1+12%的等比数列.
解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从今年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列{an}，其中
a1=515，q=1+12%=1.12，n=6,
则
S6=a1(1−q6)1−q=515×(1−1.126)1−1.12≈4179(万亩).
答：经过6年该地区退耕还林的面积共约4179万亩.
追问：该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题？
答案：Sn=a1(1−qn)1−q=515×(1−1.12n)1−1.12≥6370
由于S8≈6334，S9≈7609，所以该地区要经过9年才能基本解决退耕还林问题.
例2 某人今年初向银行申请贷款20万元，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（1）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.
为解决上述问题，我们先考察一般情形.设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，期利率为r，则分期付款方式可表示为：
从而有
x(1+r)n−1+(1+r)n−2+(1+r)n−3+…+1+r+1
运用等比数列的求和公式，化简得
x=ar(1+r)n(1+r)n−1
这是分期付款的数学模型.
解：设每月应还贷x元，共付款12×10=120次，则有
x1+1+0.003375+(1+0.003375)2+…+(1+0.003375)119
=200000(1+0.003375)120
化简得
x=200000×0.003375×(1+0.003375)120(1+0.003375)120−1
≈2029.66（元）.
答：每月应还贷款2029.66元.
设计意图：通过例题，进一步熟悉等比数列的求和公式的应用，掌握利用等比数列的求和公式解决相关实际问题．
四、课堂练习
1.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（ ）
A.96 B.126 C.192 D.252
2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N∗)等于_____.
3. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？
参考答案：
1.解：由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以12为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有
S6=a11−1261−12=378，解得a1=192，
所以第1天所走路程里数为192.
2.解：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，
其前n项和Sn=a1(1−qn)1−q=2(1−2n)1−2=2n+1−2.
由2n+1−2≥100，得2n+1≥102.
由于26=64，27=128，
则n+1≥7，即n≥6.
需要的最少天数n等于6.
3.解：(1) 设正方形ABCD的面积为b1，后继各正方形的面积依次为b2，b3，…，bn，则b1=25.由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以bk+1=12bk.
设这10个正方形的面积构成数列{bn}，则数列{bn}是以25为首项，12为公比的等比数列.设{bn}的前n项和为Sn，则
Sn=25×1−(12)101−12=50×1−(12)10=25575512.
(2)当n无限增大时，所有这些正方形的面积之和Sn=25×1−(12)n1−12=50×1−(12)n
随着n的无限增大，(12)n将无限趋近于0，Sn无限趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.
五、课堂小结
解数列应用题的一般步骤：
(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，或是含有递推关系的数列问题；
(2)将实际问题抽象为数学问题，抓住数量关系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关
系用数学式子表达，建立数列模型；
(3)明确是求an，还是求Sn.
六、布置作业
教材第153页练习第1，2，4题．