新教材北师大版学习笔记必修一第一章 2【学案+同步课件】.2 第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定

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第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章　2.2　全称量词与存在量词
学习目标
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
导语
“否定”是我们日常生活中经常使用的词语.某一期《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要.一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强.”今天我们一起去寻找“命题的否定”.
内容索引
全称量词命题的否定

一
问题1　写出下列命题的否定：(1)所有的三角形都有外接圆；(2)∀x∈R，x>a2＋b2；(3)被7整除的数都是奇数.它们与原命题在形式上有什么变化？
提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的三角形都有外接圆”，也就是说，存在一个三角形没有外接圆.命题(2)的否定是“并非所有的实数x，都使x>a2＋b2成立”，也就是说，∃x∈R，x≤a2＋b2.命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
知识梳理
1.命题的否定当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题.2.全称量词命题的否定对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为________，x不具有性质p(x).全称量词命题的否定是_________命题.
∃x∈M
存在量词
3.常见词语的否定形式
(1)总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.(2)一个命题和它的否定真假性相反.
注意点：
　　写出下列命题的否定：(1)所有矩形都是平行四边形；
存在一个矩形不是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数；
存在一个素数不是奇数.
(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.
∃x∈R，x2－2x＋1<0.
对全称量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
反思感悟
　　　写出下列全称量词命题的否定：(1)对所有正数x， >x＋1；
(2)∀x∈R，x3＋1≠0；
该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0.
(3)每一个四边形的四个顶点共圆.
该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
存在量词命题的否定

二
问题2　写出下列命题的否定：(1)存在一个实数的绝对值是正数；(2)有些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0.它们与原命题在形式上有什么变化？
提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
知识梳理
存在量词命题的否定对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为________，x不具有性质p(x).存在量词命题的否定是________命题.
∀x∈M
全称量词
　　写出下列存在量词命题的否定：(1)有些三角形是等腰三角形；
该命题的否定：“不存在一个三角形，它是等腰三角形”，也即“所有三角形都不是等腰三角形”.
(2)某些矩形是正方形；
该命题的否定：“没有一个矩形是正方形”，也即“每一个矩形都不是正方形”.
(3)∃x∈R，x2＋1<0；
该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”.
反思感悟
对存在量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
　　　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一个梯形的对角线互相平分；
假命题，任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
真命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数.
(3)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小.
真命题，任意k∈R，函数y＝kx＋b不是随x值的增大而减小.
全称量词命题与存在量词命题的综合应用

三
　　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围.
命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.即实数a的取值范围为{a|a≥1}.
延伸探究　若把“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，改为“存在x>1，使得2x＋a<3”是真命题，求实数a的取值范围.
所以a<1.即实数a的取值范围为{a|a<1}.
反思感悟
(1)命题和它的否定的真假性相反.(2)在解决实际问题时，通常采用“正难则反”间接的方法求参数的取值范围，且范围相同.(3)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题.
　　　命题p：“∃x∈R，ax2－2x－1＝0”.若p为真命题，求实数a的取值范围.
若p为真命题，即方程ax2－2x－1＝0有实数根，
②a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1，且a≠0.综上有a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞).
课堂小结
1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区： (1)否定范围不改变. (2)否定不唯一. (3)命题与其否定的真假性相反.
随堂演练

1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是A.∀x∈R，|x|＋x2<0B.∀x∈R，|x|＋x2≤0C.∃x∈R，|x|＋x2<0D.∃x∈R，|x|＋x2≥0
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条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”.
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2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是A.对任意实数x，都有x>1B.不存在实数x，使x≤1C.对任意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤1
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3.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是
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命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B；再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题，又D为真命题，故选AC.
B.所有的正方形都是矩形C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
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4.命题“同位角相等”的否定为__________________.
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有的同位角不相等
5.命题“有的三角形是直角三角形”的否定是_______________________________.
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命题“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定.
所有的三角形都不是直角
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三角形
课时对点练

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1.命题“∀x∈(0，＋∞)，都有x2－x＋3≤0”的否定A.∃x∈(0，＋∞)，使得x2－x＋3≤0B.∃x∈(0，＋∞)，使得x2－x＋3>0C.∀x∈(0，＋∞)，都有x2－x＋3>0D.∀x∈(－∞，0]，都有x2－x＋3>0
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2.命题“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是A.∃x∉[0，＋∞)，2x2－x<0B.∃x∉[0，＋∞)，2x2－x≥0C.∀x∈[0，＋∞)，2x2－x<0D.∀x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0
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命题是存在量词命题，则命题的否定是全称量词命题，据此可得命题“∃x∈[0，＋∞)，2x2－x≥0”的否定是“∀x∈[0，＋∞)，2x2－x<0”.
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3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
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量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
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4.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是A.所有学生都不会做第1题B.存在一个学生不会做第1题C.存在一个学生会做第1题D.至少有一个学生会做第1题
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根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.
5.(多选)下列选项中，错误的是A.命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”B.命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”C.“a>2”是“a>5”的充分不必要条件D.命题：对任意x∈R，总有x2>0是真命题
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对于A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故错误；对于B，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，正确；对于C，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于D，当x＝0时，x2＝0，故错误.
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6.命题“∃x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是____________________.
∀x∈R，x2－x＋1≠0
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8.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是_________.
{a|a≤1}
∵命题p的否定是假命题，∴p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.
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9.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)∀x∈R，x2>0；
命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真.
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(2)∃x∈R，x2＝1；
命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假.
(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假.
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(4)等腰梯形的对角线垂直.
命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题.
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10.已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围.
因为命题p的否定是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，
即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}.
11.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n
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12.下列命题正确的是A.命题“∀x>0，y>0，x＋y>0”的否定是“∃x>0，y>0，x＋y≤0”B.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R，x2＋x＋1<1”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≥1”D.命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2 ＋x＋1<0”
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对选项A，命题“∀x>0，y>0，x＋y>0”的否定是“∃x>0，y>0，x＋y≤0”，选项A正确；对选项B，∵x2－5x－6＝0，∴x＝－1或x＝6，故“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，选项B不正确；由存在量词命题的否定为全称量词命题知选项C不正确；对选项D，命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，选项D不正确.
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13.已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是A.a>1 B.a≥1C.a<1 D.a≤1
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因为命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，所以命题的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.所以a的取值范围为a≥1.
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14.已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋x＋1≤0.若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为______________.
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∵p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋x＋1≤0，∴p的否定：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，q的否定：∀x∈R，ax2＋x＋1>0.∵p与q均为假命题，∴p的否定与q的否定都是真命题.
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15.一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？____(填“是”或“否”).
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两位同学题中m的取值范围是一致的，∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，∴两位同学题中m的取值范围是一致的.
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16.已知命题p：∀x∈[1,3]，都有m≥x，命题q：∃x∈[1，3]，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围.
由题意知命题p，q都是真命题.由∀x∈[1,3]，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃x∈[1,3]，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.