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    新教材北师大版学习笔记必修一第二章 §3 第2课时 函数的单调性和最值的应用【学案+同步课件】
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    高中第二章 函数3 函数的单调性和最值评课课件ppt

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    这是一份高中第二章 函数3 函数的单调性和最值评课课件ppt,文件包含第二章§3第2课时函数的单调性和最值的应用pptx、第二章§3第2课时函数的单调性和最值的应用docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。

    1.掌握用函数单调性的定义证明或判断单调性.
    2.会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等问题.
    上节课我们学习了函数的单调性和最值的有关知识,这节课我们继续探讨函数的单调性和最值的应用.
    当a=0时,f(x)=0,在(-1,1)上不具有单调性,当a≠0时,设x1,x2为(-1,1)上的任意两个数,且x1因为x1,x2∈(-1,1)且x10,x1-1<0,x2-1<0,
    当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
    利用定义判断或证明函数单调性的步骤
    对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
    利用函数的单调性求最值
    f(x)在[3,5]上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈[3,5]且x1(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
    因为3≤x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
    由(1)知,f(x)在[3,5]上单调递增,
    函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
    设x1,x2是[2,4]上任意两个实数,且x1因为2≤x1利用单调性比较大小、解不等式
      (1)已知定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上单调递减,且函数y=f(x)的对称轴为x=4,则A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)
    ∵f(x)关于x=4对称且在(4,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,4)上单调递增,且f(5)=f(3),f(6)=f(2),∴f(3)>f(2)=f(6),故选D.
    (2)若函数y=f(x)的定义域为R,且为增函数,f(1-a)因为y=f(x)的定义域为R,且为增函数,
    延伸探究 在本例(2)中,若将定义域“R”改为“(-1,1)”,其他条件不变,则a的取值范围是什么?
    解得0(1)利用单调性比较大小的方法①利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小,例如:已知f(x)在区间D上为增函数,则对x1,x2∈D,x1A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)
    画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增,由f(4-a)>f(a)可得4-a>a,解得a<2.
    (2)已知f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则有A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
    由题意知a+b≤0,得到a≤-b,b≤-a.∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
    1.知识清单: (1)定义法证明、判断函数的单调性. (2)利用函数单调性求最值. (3)利用函数单调性比较大小、解不等式.2.方法归纳:定义法、数形结合法.3.常见误区: (1)用定义证明单调性时化简不彻底. (2)利用函数单调性解决问题时忽略定义域.
    1.(多选)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是A.y=2x+1 B.y=x2+1C.y=3-x D.y=x2+2x+1
    2.若函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上单调递减,则下列不等式成立的是
    3.下列函数在[1,4]上的最大值为3的是
    选项B,C在[1,4]上均单调递增,
    5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(2+x)=f(2-x),则f(1),f(2),f(4)的大小关系为____________(用“>”号连接).
    f(4)>f(1)>f(2)
    由题意知f(x)的对称轴为x=2,故f(1)=f(3),∵f(x)=x2+bx+c在[2,+∞)上单调递增,∴f(2)f(1)>f(2).
    1.(多选)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是A.2 B.-2C.1 D.0
    依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2.
    A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0
    所以a<0,b<0,所以f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a<0.
    3.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则-1由已知,得f(0)=-1,f(3)=1,∴-1A.(-1,2) B.(-2,1)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
    画出图象(图略)可得函数f(x)在R上单调递增,故由f(2-a2)0,解得a<-2或a>1,故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
    5.(多选)若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A可能为A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,5]
    ∵函数f(x)=x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线,以直线x=2为对称轴,∴函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.当x∈[0,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(0)=f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[2,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,最大值为f(4)=1,得函数的值域为[-3,1];当x∈[1,4]时,函数的最小值为f(2)=-3,
    ∵f(1)=-2f(5)=6,∴最大值为f(-3)=22,得函数的值域为[-3,22].根据以上的讨论可得区间A不可能为[-3,5].
    6.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是________.
    7.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)8.对于函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax叫作函数f(x)的下确界,则对于a∈R,a2-4a+6的下确界为______.
    设f(a)=a2-4a+6,f(a)≥M,即f(a)min≥M,而f(a)=(a-2)2+2,f(a)min=f(2)=2.∴M≤2,∴Mmax=2.
    设1≤x1∵1≤x10,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在[1,2]上单调递减.同理得,f(x)在[2,4]上单调递增,∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5.
    在(1,+∞)内任意取x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)证明:函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
    设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
    11.已知定义在[-2,2]上的函数f(x)满足对任意的x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,若f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为A.[-1,2) B.[0,2)C.[0,1) D.[-1,1)
    ∵定义在[-2,2]上的函数f(x)满足对任意的x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,∴函数f(x)在[-2,2]上单调递增,∵f(a2-a)>f(2a-2),
    12.已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上有单调性,则y=2ax+b的图象不可能是
    因为函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上有单调性,所以①当a=0时,y=2ax+b的图象可能是选项A;
    所以f(x)在区间[3,4]上单调递减,
    因为x1>x2≥2,则x1-x2>0,x1x2>4,所以g(x1)>g(x2),
    (1)求证:f(x)是R上的减函数;
    设x1,x2是任意的两个实数,且x10,因为当x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)
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