第一章 预备知识（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第一册）

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第一章 预备知识（A卷·知识通关练）
核心知识1 集合中元素的特性
1．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（       ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】A
【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合，集合，故C错误；
集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.
故选：A.
2．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（       ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的正整数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】BC
【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可.
【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
是不大于3的正整数组成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素；
故选：BC
3．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：
（1）______N；       （2）1______；       （3）______R；
（4）______；       （5）______N；       （6）0______．
【答案】                             
【分析】根据元素与集合的关系判断.
【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
4．（2022·全国·高一课时练习）用符号“”或“”填空：
（1）设集合B是小于的所有实数的集合，则______B，______B；
（2）设集合D是由满足方程的有序实数对组成的集合，则－1______D，______D．
【答案】                   
【分析】（1）先判断，与的大小关系，再根据元素与集合的关系求解，
（2）集合D是点集，可知不在此集合中，再将代入函数解析式中验证即可.
【详解】（1）∵，∴．
∵，∴．
（2）∵集合D中的元素是有序实数对，而－1不是有序实数对，∴．
∵，∴是满足方程的有序实数对，
∴．
故答案为：，，，.

核心知识2 判断元素个数或列举元素
1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过解方程求得集合.
【详解】依题意：，
由解得或或，
所以.
故选：D
2．（2020·江苏·扬州大学附属中学高一阶段练习）集合中的元素个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】表示出集合A中的元素，即可得出个数.
【详解】，
集合A中有2个元素.
故选：B.
【点睛】本题考查集合元素个数的求解，属于简单题.
3．（2020·吉林辽源·高三期末（理））已知集合且，则集合中的元素个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据整数与整除的方法枚举即可.
【详解】因为,故,即共四种情况.故集合中元素个数为4.
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用整除求解集合中元素的个数问题.属于基础题.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______.
【答案】6
【分析】由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解.
【详解】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.
故答案为：6.
5．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．

核心知识2 集合的包含关系的应用
题型一、判断集合与集合之间的关系
1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合菱形，正方形，则有（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于正方形是特殊的菱形，从而可判断两集合的关系.
【详解】因为正方形是特殊的菱形，集合菱形，正方形，
所以，
故选：C
2．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.
【详解】由题意得，集合．所以，B错误；
由于空集是任何集合的子集，所以A正确；
因为，所以C、D中说法正确．
故选：B．
3．（2022·全国·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（       ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.
【详解】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
4．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列表述正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由两个集合的包含关系判断选项A；由集合元素的无序性判断选项B；由空集的特点判断选项C和D．
【详解】A中，两个集合之间是包含关系，故A错误；
B中，，是相等的集合，所以，故B正确；
C中，空集是任何集合的子集，故C正确；
D中，空集与一个非空集合不相等，故D错误．故选：BC．
5．（2022·吉林·梅河口市第五中学高三开学考试）已知集合，，则（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简集合与，可知中的元素都在中，即得.
【详解】因为，
，
当时，为整数，为奇数，
所以.
故选：C.

题型二、求子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）设集合，则的子集的个数为（       ）
A．1 B．3 C．7 D．8
【答案】D
【分析】依次列举出的子集得解.
【详解】集合，所以的子集有，
故选：D.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知集合，集合Ü，则集合可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】因为集合，
对于A：满足Ü，所以选项A符合题意；
对于B：满足Ü，所以选项B符合题意；
对于C：满足Ü，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
4．（2021·江西景德镇·高一期中）集合的非空子集个数为________.
【答案】15
【分析】化简集合，根据集合的子集定义即可求出.
【详解】因为
所以非空子集为，，，，，，，，，，，，，，共15个，
故答案为：15
5．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（       ）
A．4 B．64 C．15 D．63
【答案】D
【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集个数.
【详解】由已知得，所以集合P的真子集的个数为．
故选：D
6．（2022·全国·高一课时练习）集合的真子集个数为______，非空真子集个数为______．
【答案】     31     30
【分析】由题意可得为12的正因数，从而可求出，可得集合，进而可求出集合的真子集和非空真子集.
【详解】∵，，
∴，4，3，2，0，∴集合，
∴集合A的真子集个数为，非空真子集个数为．
故答案为：31，30

核心知识3 集合的交并补及混合运算
题型一、元素是离散型的，可以一一列举的
1．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知集合，，，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.
【详解】解：由补集的定义可得：，，
所以.
故选：A.
2．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用列举法把集合表示出来，再求集合与的并集.
【详解】因为，，
所以.
故选:D.
3．（2022·安徽·高三开学考试）设全集，集合，则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合A，B，再求两集合的并集，然后可求出其补集.
【详解】因为，
所以，
因为全集，
所以，
故选：C
4．（2021·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）已知集合，，则集合（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的意义求交集.
【详解】由已知得集合表示满足的实数对，集合表示满足的实数对，
联立方程组，解得，
表示同时满足集合与的实数对，
所以，
故选：D.
5．（2022·全国·高一专题练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（          ）名．
A．62 B．56 C．46 D．42
【答案】C
【分析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A，B，再利用容斥原理计算作答.
【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A，B，
依题意，集合A，B，中元素个数分别为：，
则，
所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.
故选：C
6．（2022·广东·高三开学考试）已知集合，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B.

题型二、元素是连续型的，集合用描述法或区间表示
1．（2022·全国·高一课时练习）若集合，或，则______，______．
【答案】     R     或
【分析】根据集合的交并集运算求解即可得答案
【详解】解： 因为，或，
所以，或
故答案为：R；或
2．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则 __________.
【答案】
【分析】直接根据并集定义求解即可.
【详解】因为，，所以，
故答案为：
3．（2022·浙江省衢州第一中学高二开学考试）设全集，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集、交集的运算求解即可.
【详解】，，，
，
故选：A
4．（2022·江苏·高三开学考试） 设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可
【详解】由题，，则，
故选：A
5．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，，则___________.
【答案】
【分析】先求出集合A的补集，再求交集即可.
【详解】集合，则，
又，
所以.
故答案为：
6．（2022·北京·高三开学考试）已知全集，集合，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用补集的定义，即可求出答案.
【详解】因为，，
所以或，
故选：A.

题型三、Venn图的应用
1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）如图，全集，集合，则阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据韦恩图，得到阴影部分的集合表示，根据集合之间的运算，可得答案.
【详解】根据韦恩图，可得阴影部分所表示的是，由，
则，
故选：D.
2．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，则图中阴影表示的集合是（       ）

A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案.
【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，
即阴影表示的集合是，所以.
故选：D
3．（2022·福建·福州四中高一期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故选：C
4．（2022·海南·嘉积中学高二期末）如图，全集，集合，集合，则阴影部分表示集合（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，阴影表示集合为，由此能求出结果.
【详解】解：矩形表示全集，
集合，集合,
，则阴影表示集合为.
故选：D.
5．（2022·上海·模拟预测）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据之间的关系进行判断即可.
【详解】由，解得或，则，
又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系，
故选项A中的韦恩图是正确的.
故选：A.
6．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）

A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由图可得，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，从而得解．
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于，
∴阴影部分表示的集合为：或，
故选：AD．

核心知识4 集合中求参数问题
题型一、已知元素属于集合，求集合中所含参数的值
1．（2021·浙江·高一期中）若，则实数的值等于（       ）
A． B．3
C． D．3或
【答案】A
【分析】分类讨论结合集合中元素的性质求解即可.
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，即或（舍），此时
故选：A
2．（2021·全国·高一课时练习）设集合，且，则实数_______.
【答案】－4
【分析】－5∈A，则－5是方程的根，代入方程即可解得a的值﹒
【详解】∵集合，
解得：，
故答案为：－4
3．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知集合A＝{x|6x+a0}，若1∉A，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】由已知中集合，若，则将代入应该恒不成立，即恒成立，解不等式即可求出满足条件的实数的取值范围．
【详解】解：集合，
若，
则恒成立
故
故实数的取值范围是，
故答案为：，

题型二、已知集合相等，求参数的值
1．（2022·全国·高一课时练习）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（       ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
【分析】利用集合相等求解.
【详解】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）集合，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
【分析】根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
3．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数 _______
【答案】
【分析】由题知方程有且只有一个实数根，进而得，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为，
所以方程有且只有一个实数根，
所以，解得.
所以
故答案为：

题型三、已知元素个数，求参数的值或范围
1．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围.
【详解】由题意可知，可得.
故选：D
2．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【答案】{0}∪[，+∞）．
【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
3．（2021·安徽省宣城中学高一阶段练习）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】先求出不等式、的解，根据不等式组中有且仅有两个整数，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】由可得，
由可得，
又不等式组有且仅有两个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 实数的取值范围是.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)当时，；当时，；
(3).
【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围；
（2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围.
（1）
若A是空集，则关于x的方程无解，
此时，且，
所以，即实数a的取值范围是.
（2）
当时，，符合题意；
当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，
则，得，此时，符合题意.
综上，当时；当时.
（3）
当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.

题型四、利用集合的包含关系求参数的取值范围
1．（2022·上海·高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（       ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】解：A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.
故选：D
2．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________.
【答案】或3##3或-2
【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.
【详解】，
∴或，
解得或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：或3.
3．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知集合，集合，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果.
【详解】，，，
且，解得：，即的取值范围为.
故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）已知集合若则实数的取值范围______．
【答案】
【分析】分类讨论确定集合，由包含关系得结论．
【详解】时，，满足，
时，，不满足，
时，，由得，解得．
综上，．
故答案为：．
5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，


或


要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或

题型五、利用集合的运算结果求参数的取值范围
1．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））设集合．若，则实数的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】由题可得，，
当时，，满足；
当时， ，则或，即.
综上所述，或.
故选：D.
2．（2022·全国·高一专题练习）设集合，，又，求实数_____．
【答案】
【分析】根据得出或，再分类讨论得出实数m的值.
【详解】因为，
所以且，
若，即代入得，
不合题意；
若，即．
当时，，与集合元素的互异性矛盾；
当时，，，有符合题意；
综上所述， ．
故答案为：
3．（2021·山东·高三阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合并集的运算性质进行求解判断即可.
【详解】因为，所以有，
故选：D

4．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））已知集合，当时，求的取值范围.
【答案】
【分析】根据题意分和两种情况求解.
【详解】①当时，，满足；
②当时，因为，
所以，或，
解得，或，
所以，
综上，的取值范围为
5．（2022·全国·高一课时练习）已知集合,或，若，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】由已知，根据条件给的集合A和集合B，结合，通过对集合A进行分类讨论，讨论集合是不是空集，然后借助数轴从而确定参数的取值范围.
【详解】解析   由，得，从而．
①若，则，解得；
②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示，

则，解得．
综上，实数a的取值范围是．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】将集合的运算结果转化为集合间的关系，根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组）并求解，特别要注意端点值能否取到求解即可.
（1）
∵，∴．
在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．
∴实数m的取值范围为．

（2）
∵，∴．
当，即，即时，满足．
当，即时，在数轴上标出集合B，C，
若，则有两种情况，如图2、图3所示．
由图2可知，解得，又，
∴无解；由图3可知，解得．

综上，实数m的取值范围是．
7．（2022·贵州毕节·高一期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解.
【详解】因为集合或，，，所以．
故选：B．

8．（2022·山东滨州·高二期中）已知集合，若，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合，且，
所以，
所以实数a的取值范围为，
故选：D.

核心知识5 集合的新定义
1．（2022·全国·高一课时练习）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数
【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【答案】B
【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．
【详解】解：根据题意得，，则中有6个元素，
∴的真子集个数为26﹣1＝63个．
故选：B．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知集合正奇数和集合若则中的运算“⊕”是（       ）
A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法
【答案】C
【分析】用特殊值，根据四则运算检验．
【详解】若，则，，，因此排除ABD．
故选：C．

核心知识6 判断充分必要条件
题型一、判断p是q的什么条件
1．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）“0 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】解：“0 “”成立时，“0 所以“0 故选：A
2．（河南省名校联盟2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题）设，则“且”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.
【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·全国·高一专题练习）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解一元二次方程，结合充分性和必要性即可容易判断和选择.
【详解】因为，故可得或，
若，则不一定有，故充分性不满足；
若，则一定有，故必要性成立，
综上所述：“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
4．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.
【详解】若，如，则，故充分性不成立；
若，则，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（多选题）（2021·山东·薛城区教育局教学研究室高一期中）对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（       ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】CD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】对于A，因为当时成立，当且时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错；
对于B，当时，，当时，或，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错；
对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确；
对于D，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确.
故选：CD.

题型二、判断什么是p的一个充分条件（必要条件、充分不必要、必要不充分、充要）
1．（2022·全国·高一单元测试）等式成立的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把等式平方寻找等式成立的充要条件可得．
【详解】
．
故选：C．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照充分不必要条件依次判断4个选项即可.
【详解】A选项：，错误；B选项：，错误；
C选项：，，正确；
D选项：，错误.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ）
A．x＞0 B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3 D．x＜0
【答案】A
【分析】根据必要不充分的定义进行求解即可.
【详解】设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（       ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C
5．（多选题）（2022·福建厦门·高一期末）已知a，，则的必要不充分条件可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；
对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；
对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；
对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；
故选：CD

核心知识7 利用充分必要条件求参数的范围
1．（2022·全国·高一专题练习）已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得.
【详解】因为是的充分不必要条件，所以Ü，即.
故选：D.
2．（2021·陕西·西安高级中学高二期中（理））已知 p：m-1 A．(3，5) B．[3，5] C．(- ，3)(5，+ ) D．( -，3] [5，+)
【答案】B
【分析】根据q是 p 的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，列出不等式组，解之即可得解.
【详解】解：q：，
因为q是 p 的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以（不同时取等号），
解得.
故选：B.
3．（2020·全国·高一课时练习）已知集合，，的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】,结合数轴知，且，所以

4．（2021·江苏·高一单元测试）已知
（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；
（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，.
【分析】（1）依题意，即可得到方程组，由方程组无解即可判断；
（2）依题意可得，再对与分两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：，．
（1）要使是的充要条件，
则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
要使，则有
解得，
所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．


核心知识8 利用命题真假求参数的范围
1．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，为真命题，进而可得为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可.
【详解】命题为假命题，即命题为真命题.
首先，时，恒成立，符合题意；
其次时，则且，即，
综上可知，.
结合选项可得，，即：是的一个充分不必要条件.
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是 __.
【答案】a
【分析】根据命题p为假命题，则它的否定￢p是真命题，利用判别式≥0求出实数a的取值范围.
【详解】解：因为命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，
所以它的否定￢p：∃x∈R，x2+x﹣a≤0为真命题，
所以＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a.
故答案为：a
4．（2021·全国·高一期中）已知命题，命题,若命题都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】通过命题的真假关系，求得命题都是真命题时实数的取值范围取交集即可.
【详解】解：①命题是真命题，
则当时，
，解得，不满足条件；
当时，要使得，必有
，解得，
命题是真命题时．
②命题是真命题，
则有，即，
解得：或．
综上①②，命题都是真命题时，．

核心知识9 利用不等式的性质判断不等关系
1．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列命题为假命题的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：因为，所以，故选项A正确；
对B：因为，，所以当时，；当时，；当时，，故选项B错误；
对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；
对D：因为，所以，所以，故选项D正确.
故选：B.
2．（2022·全国·高一专题练习）若，，则一定有（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐一进行判断，即可得到结论．
【详解】解：对于A、B，∵，
∴，
∵ ，
∴，即，故A正确，B错误；
对于C、D，令，满足，
但，故C、D错误．
故选：A．
3．（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】因为实数a，b，c满足，，
所以，
对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，
故选：C
4．（2022·全国·高一单元测试）设，，则与的大小关系是（       ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A

核心知识10 利用不等式的性质求代数式的范围
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质求解即可.
【详解】，
故，，得
故选：B
2．（2022·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．
【答案】
【分析】由结合不等式的性质得出答案.
【详解】解：，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：

核心知识11 利用基本不等式的求最值
题型一、知和求积
1．（2022·全国·高一专题练习）已知正数满足 ，则的最大值（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
2．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（       ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最小值 D．有最小值2
【答案】A
【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.
【详解】因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．
故选：A
3．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（       ）
A．4 B．1 C． D．不存在
【答案】A
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：A
4．（2021·北京·首师大附中通州校区高一阶段练习）已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得最大值．
【详解】因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故选：C．
题型二、知积求和
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题意，直接利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】∵，∴，
∴≥＝6，
当且仅当即时， 取最小值6，
故选：A．
3．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）已知，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由均值不等式求解即可.
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
故选：B
4．（2022·山东滨州·高二期中）若，则函数的最小值为（       ）
A． B． C．4 D．2.5
【答案】D
【分析】由，则，又，从而利用均值不等式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，
故选：D.
5．（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（       ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
6．（2021·云南省楚雄天人中学高一阶段练习）当时，（       ）
A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值
【答案】A
【分析】根据已知条件可得，将已知转化为，再利用基本不等式即可求最值.
【详解】当时，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，没有最小值，
故选：A.
题型三、知和求和
1．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误.
故选：B．
2．（2022·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值为（       ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】因为正数满足，
所以，
所以

，
当且仅当，即时取等号，
故选：C
3．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
4．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解.
【详解】根据题意可得，
由，所以，
由，可得，即，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
5．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1）9；（2）．
【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
6．（2022·全国·高一课时练习）（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．
又，所以，



当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．

核心知识12 利用基本不等式证明不等式
1．（2022·全国·高一课时练习）已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，
（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.
（1）
证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）
证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．

核心知识13 一元二次不等式的解法
1．（2017·安徽·高二学业考试）不等式的解集为（       ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式.
【详解】不等式的解集为或.
故选：A.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
2．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（       ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.
故选：A
3．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（       ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，即可求得答案.
【详解】不等式即，解得或，
所以不等式的解集为或，
故选：C．
4．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式即可.
【详解】可变形为，
令，得，，
所以或，即不等式的解集为.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.

核心知识14 已知一元二次不等式的解，求参数的综合应用
1．（2022·全国·高一专题练习）若不等式的解集为，则（　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．
【详解】不等式的解集为，则方程根为、，
则，解得，，
故选：D
2．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）
A．R B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据二次不等式的解集与系数的关系可得，再求解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，故，且与为方程的两根.故，解得，故不等式，即，故，解得或.
故选：D
3．（2022·黑龙江·高三开学考试）若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据三个“二次”的关系可知，和是方程的两根，由韦达定理求出，即可将化成关于的式子，变形，由基本不等式即可求出其最小值．
【详解】根据题意可得和是方程的两根且，即，.
故，
当且仅当时，等号成立.
故选：A．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出和b是关于x的方程的两个实数根，且，代方程求得，再解一元二次方程可得；
（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得的范围．
（1）
因为不等式的解集为，
所以和b是关于x的方程的两个实数根，且．
因为是的一个实数根，所以，解得．
将代入，得，解得，所以．
（2）
由（1）得，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
由题意得，即，解得，
所以实数k的取值范围为．


核心知识16 分式不等式的解法
1．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.
【详解】，解得或，
所以不等式的解集是或.
故选：D
2．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）不等式的解集为（       ）
A． B．或.
C．或. D．
【答案】C
【分析】不等式化为即可求出.
【详解】将不等式化为，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：C.
3．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期中）不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将分式不等式移项通分，转化为一元二次不等式进行求解即可.
【详解】解：由得



即
等价于
解得：
故选：C.
4．（河北省邢台市名校联盟2023届高三上学期开学考试数学试题）若集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，分别计算出每个集合的具体取值范围，结合交集的定义，可得答案.
【详解】对于集合，可得不等式，解得，
对于集合，可得不等式，等价于，解得或，
则，
故选：B.

核心知识17 一元二次方程根的分布问题
1．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得.
【详解】设方程的两根为，依题意有：，
因都大于1，则，且，显然成立，
由得，则有，解得，
由解得：，于是得，
所以的取值范围是.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.
故选：C
3．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（       ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】C
【分析】设，根据二次函数的性质，结合题意可得，，代入计算，即可得答案.
【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得，，解得，
因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
，即，
解得，又
所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.
故选：C

4．（2022·全国·高一课时练习）关于x方程在内恰有一解，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】讨论，方程根的情况，结合根的分布列不等式，即可求的范围.
【详解】当时，，不合题意；
∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
故选：B
【点睛】本题考查了由一元二次方程根的分布求参数范围，应用了分类讨论的方法，属于基础题.

核心知识18 一元二次函数的图象变换和性质
1．（2020·湖南·湘南中学高一开学考试）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式，求得的值，即可得解.
【详解】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式得，解得，所以，二次函数解析式为.
故选：C.
2．（2021·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）已知二次函数，那么y的最大值是（       ）
A． B． C．16 D．0
【答案】C
【分析】先判断二次函数对称轴，再比较两个端点大小即可.
【详解】二次函数对称轴为，开口向上
当时，，
当时，，
所以当时，y取得最大值16.
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（        ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用函数的图象变换可求得变换后的图象对应的函数解析式.
【详解】将二次函数的图象向上平移个单位长度得到函数的图象，
再向右平移个单位长度得函数的图象，
故选：B.
4．（2022·湖南益阳·高一开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据二次函数图象开口方向、对称轴方程以及、处的函数值符号可判断①②③④的正误，即可得出结论.
【详解】二次函数的图象开口向下，则，
对称轴为直线，可得，
当时，，所以，，①错；，②对；
当时，，③对；，④错.
所以，①④错误，②③正确.
故选：B.
核心知识19 一元二次不等式的实际应用
1．（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（　　）
A．20≤x≤30，x∈N* B．20≤x≤45，x∈N*
C．15≤x≤30，x∈N* D．15≤x≤45，x∈N*
【答案】B
【分析】利用关于x的函数表示每天的获利，然后令获利≥1300，求得x的取值范围即可.
【详解】由题意知每天的获利为Px-C=（160-2x）x-（500+30x）=-2x2+130x-500，
令-2x2+130x-500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N*，
故选：B
2．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.
【分析】根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.
【详解】因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，当时，，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，因此乙种车型有超速现象.