新教材北师大版学习笔记必修一第一章 2【学案+同步课件】.2 第1课时　全称量词命题与存在量词命题

这是一份新教材北师大版步步高学习笔记必修一第一章 2【学案+同步课件】.2 第1课时　全称量词命题与存在量词命题，文件包含第一章22第1课时全称量词命题与存在量词命题pptx、第一章22第1课时全称量词命题与存在量词命题docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共58页， 欢迎下载使用。


第1课时　 全称量词命题与存在量词命题
第一章　2.2　全称量词与存在量词
学习目标
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
导语
同学们，生活中，我们经常听到“全体起立，所有人到操场集合”，也有“南使孤帆远，东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学，有的同学没有交作业”，还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词，“全体，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论.
内容索引
全称量词命题与存在量词命题的识别

一
问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题，也是今天要学习的全称量词命题.
问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
提示　容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题，也是今天要学习的存在量词命题.
知识梳理
1.全称量词命题及全称量词(1)定义：在给定集合中，断言_________都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.(2)全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“___”表示，读作“对任意的”.常见的全称量词还有“任给”“凡是”等.
所有元素
∀
2.存在量词命题及存在量词(1)定义：在给定集合中，断言_________具有一种性质的命题叫作存在量词命题.(2)存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“___”表示，读作“存在”. 常见的存在量词还有“有的”“对某些”等.
某些元素
∃
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.(2)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.(3)含有存在量词的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.(4)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
注意点：
　　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)有一个实数x，x不能取倒数；
含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题.
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
(3)圆内接四边形，其对角互补；
可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题.
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
(1)全称量词命题或存在量词命题的判断
反思感悟
(2)全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.
　　　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；
含有全称量词“任意”，故为全称量词命题.
(2)有些三角形不是等腰三角形；
含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
(3)有的实数是无限不循环小数；
含有存在量词“有的”，故为存在量词命题.
(4)所有的正方形都是矩形.
含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
全称量词命题与存在量词命题的真假判断

二
　　判断下列命题的真假：(1)∃x∈Z，x3<1；
因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
真命题，如梯形.
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
(4)∀x∈N，x2>0.
因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题.
反思感悟
全称量词命题和存在量词命题真假的判断
　　　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
由含量词命题的真假求参数的范围

三
　　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
解得2≤m≤3.即m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
延伸探究1.把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.
解得2≤m≤4.即m的取值范围为{m|2≤m≤4}.
2.把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
假设命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，
所以不存在实数m，使命题p是真命题.
反思感悟
依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
　　　(1)若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.即实数a的取值范围为{a|a≤4}.
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若“对∀x∈R，p(x)”是真命题，求实数a的取值范围.
p(x)：ax2＋2x＋1>0，若“对∀x∈R，p(x)”是真命题，即ax2＋2x＋1>0对任意实数x恒成立，
故实数a的取值范围为(1，＋∞).
课堂小结
1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)通过含量词的命题的真假求参数的取值范围.2.方法归纳：定义法、转化法、特例法.3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.
随堂演练

1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是A.有一个x∈R，使得x2>3B.对有些x∈R，使得x2>3C.任选一个x∈R，使得x2>3D.至少有一个x∈R，使得x2>3
1
2
3
4
√
5
1
2
3
4
2.下列命题中全称量词命题的个数为①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等.A.0 B.1 C.2 D.3
√
5
①②是全称量词命题，③是存在量词命题.
1
2
3
4
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
√
5
B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，显然C既是全称量词命题，又是真命题.
4.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是_____(填序号).①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.
1
2
3
4
5
①②③
④
5.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是_________.
1
2
3
4
对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
{a|a≤3}
5
课时对点练

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.下列命题中为存在量词命题的是A.所有的整数都是有理数B.每个三角形至少有两个锐角C.有些三角形是等腰三角形D.正方形都是菱形
√
A，B，D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xyD.存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy
√
“任意”为全称量词，选项A正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使 >2
√
A，C为全称量词命题，B，D为存在量词命题，B选项中当x＝0时，x2＝0，正确，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)已知对∀x∈{x|1≤x<3}，都有m>x为真命题，则m的可能取值为A.1 B.2 C.3 D.4
√
因为对∀x∈{x|1≤x<3}，都有x<3，所以要使m>x成立，只需m≥xmax即可，即m≥3.
√
5.给出下列三个命题：①∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
对于①，存在x＝y＝0，使得x2＋|y|＝0，故①是假命题；显然②③是真命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为_______________________.
∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0
“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为___________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若“∃x∈[1,2]，x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________；若上述命题为假命题，则实数a的取值范围是_________.
(－∞，2]
若“∃x∈[1,2]，x－a≥0”是真命题，即“∃x∈[1,2]，x≥a”能成立，所以a≤xmax，即a≤2.若“∃x∈[1,2]，x－a≥0”是假命题，即在区间[1,2]上找不到满足x≥a的数，故a>2.
(2，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x∈R，x－2≤0；
存在量词命题．当x＝1时，x－2＝－1<0，故存在量词命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)三角形两边之和大于第三边；
全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)有些整数是偶数.
存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.若命题“∀1≤x≤2，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围.
当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}.
11.(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是A.∃x∈Z，x2－2x－3＝0B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C.∃x∈R，|x|<0D.有些自然数是偶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A中，当x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，－x2<0，则A.命题p，q都是真命题B.命题p是真命题，q是假命题C.命题p是假命题，q是真命题D.命题p，q都是假命题
√
当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，－x2＝0，故命题q为假命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.“对任意的5x－1>a，都有x>1”为真命题，则实数a的取值范围是_________.
{a|a≥4}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R， ＝x；④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm.其中，所有真命题的序号为________.
①②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或x＝3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；
④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.对任意实数x，都有|x＋1|≤1且x2>4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错误；当x＝0时，x2＝0<4，所以D选项错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又m为整数，所以m＝1，