北师数学·必修第1册 章末梳理1 PPT课件

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第一章　预备知识章末梳理知识结构•理脉络 要点梳理•晰精华1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，你能结合例子说明这些特性吗？例如，确定性：2∈Q，但∉Q；互异性：给定集合{x，x2}，则x≠x2，即x≠0,1；无序性：{1,2,3}＝{3,2,1}．2．你能用集合表示平面内线段AB的垂直平分线吗？结合集合的描述法谈谈你的体会．平面内线段AB的垂直平分线可以表示为{P||PA|＝|PB|}．3．用联系的观点看问题，可以使我们更深刻地理解数学知识．本章中，我们类比数与数的关系和运算研究了集合与集合的关系和运算．你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的减法运算吗？集合的减法运算：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，或A－B＝{x|x∈A且x∉B}．4．对给定的p和q，如何判定p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件？你能举例说明吗？熟记判断充分、必要条件的2种方法5．如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？否定含有一个量词的命题分两步：(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．6．作差法比较大小作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．(2)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．9．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理解如下(1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．(2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．(3)“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值．在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的答案．10．二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下(1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．(2)从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．因此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．素养突破•提技能考查方向：集合的基本概念　　　　(1)集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是___________．(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．例 1核心素养数学抽象[归纳提升]　解决集合的概念问题的关注点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．考查方向：集合基本运算　　　　(1)设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于 (　　)A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}例 2D　核心素养数学运算(2)设集合A＝{－1,2,7}，B＝{x|x2－7x＋m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝ (　　)A．{2，－10} B．{2,0}C．{2,5} D．{2,10}[解析]　(1)因为U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U(A∪B)＝{2,4}．(2)由题意知2是方程x2－7x＋m＝0的解，把x＝2代入方程得m＝10，因为x2－7x＋10＝0的解为x＝2或x＝5，所以B＝{2,5}．故选C．C　[归纳提升]　集合基本运算的方法一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．考查方向：比较大小　　　　已知m∈R，比较m6＋2 019与m4＋m2＋2 018的大小．[分析]　利用作差法比较大小即可．[解析]　(m6＋2 019)－(m4＋m2＋2 018)＝m6－m4－m2＋1＝(m2－1)2(m2＋1)．当m＝±1时，m6＋2 019＝m4＋m2＋2 018；当m≠±1时，m6＋2 019＞m4＋m2＋2 018．例 3[归纳提升]　比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．核心素养直观想象考查方向：集合运算的综合应用　　　　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；(2)是否存在a，使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？例 4(2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，则a＋3∈[2,3]，所以A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．[归纳提升]　集合运算的综合应用的注意点(1)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．(2)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．考查方向：充分必要条件的判断　　　　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2＜2}，则“a＝1”是“S⊆T”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]　T＝{x∈Z|x2＜2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．例 5充分不必要　[归纳提升]　充分(必要)条件是学习中的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本章使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A⊆B．(4)A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A，B既有公共元素也有非公共元素．考查方向：不等式恒成立问题　　　　已知不等式mx2－mx－1＜0．(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．[分析]　先讨论二次项系数，再灵活选择方法解决恒成立问题．例 6[归纳提升]　不等式恒成立求参数范围的方法1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量看作主元．2．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．核心素养逻辑推理考查方向：充分必要条件的判断　　　　设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)例 7必要不充分　[归纳提升]　利用定义判断充分必要条件的方法如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．考查方向：利用充分必要条件求参数的取值范围　　　　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是_________________．例 8{m|m≥9}　[归纳提升]　运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法，若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．核心素养数学建模考查方向：基本不等式求最值　　　　某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．(1)求k的值；(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值．例 9考查方向：一元二次不等式的实际应用　　　　某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入市后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入市第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入市后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入市后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入市第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入市后经过几个月，该公司改革的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．例10[归纳提升]　一元二次不等式的实际应用根据题意建立相应的函数模型，然后解不等式即可．高考链接•悟考能1．(2019·全国Ⅱ高考)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝ (　　)A．{x|x＞－1} B．{x|x＜2}C．{x|－1＜x＜2} D．∅[解析]　∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．C　2．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　)A．9 B．8C．5 D．4[解析]　将满足x2＋y2≤3的整数数对(x，y)全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个，故选A．A　3．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是 (　　)A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2[解析]　将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2”．D　4．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝ (　　)A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}[解析]　∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C．C　5．(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝ (　　)A．－4 B．－2C．2 D．4B　6．(2019·天津)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的 (　　)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]　由|x－1|＜1，解得0＜x＜2，{x|0＜x＜2}{x|0＜x＜5}，故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件．B　C　8．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______．30　9．(2019·上海高考)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,5,6}，则A∩B＝____________．[解析]　∵集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,5,6}，∴A∩B＝{3,5}．{3,5}　11．(2017·全国Ⅱ卷)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2．证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2．[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4．