初中数学华师大版九年级上册24.4 解直角三角形第1课时导学案

教学目标

1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.

教学重难点

重点：理解解直角三角形的含义.

难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.

教学过程

复习巩固

1.锐角三角函数：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则

两锐角关系：∠A+∠B＝90°.

三边关系：a2+b2＝c2.

边角关系：

(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝；

(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝；

(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝.

2.30°、45°、60°角的三角函数值：

导入新课

我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形这些知识来解决与直角三角形有关的问题.

教师引出课题： 24.4　　解直角三角形

　解直角三角形以及简单的应用　（第1课时）

探究新知

探究点一　解直角三角形的概念

活动1（学生交流，教师点评）

例1　如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，这棵大树在折断前高多少米？

此图见教材第112页

【探索思路】(引发学生思考)本题已知直角三角形中两条直角边，求斜边.

【解】利用勾股定理，树倒下部分的长度为(m)，

135＝18（m）.

答：这棵大树在折断前高18米.

【题后总结】在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外一条边的长度.

【思考】　解直角三角形需要什么条件？   

解直角三角形除直角外，至少要知道其中的两个元素（这两个元素中至少有一条边）

活动2（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2　在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝20，∠B＝35°，解这个三角形.(精确到0.1，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)

【探索思路】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素，要求解直角三角形，一般从直角三角形的性质出发，结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题.

【解】∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，

∴ ∠A＝55°.

∵ BC＝20，∠B＝35°，

∴ tan 35°＝ ≈0.7，

解得AC≈14.

cos 35°＝＝≈0.82，

解得AB≈24.4.

【总结】

解直角三角形的概念：

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素.

【即学即练】

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.

解：∠A＝90°-∠B＝90°-35°＝55°.

∵ tan B,

∴ a＝ ＝≈ ≈28.6.

∵ sin B＝，

∴ c＝＝≈≈35.1.

探究点二　解与方向角有关的直角三角形

活动3合作探究，解决问题（学生交流，教师点评）

典例讲解，师生互动

例3　如图，在相距2 000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B测得敌舰C在它的正南方向，试求:敌舰与两炮台的距离. (精确到1米）　　

【探索思路】(引发学生思考)本题是已知一边、一锐角，求其他两边.

解:在Rt△ABC中，

因为∠CAB＝90°-∠DAC＝50°，

tan∠CAB ＝，

所以BC＝AB•tan∠CAB ＝2 000×tan50° ≈2 384(米).

又因为cos∠CAB＝cos 50°，　　　　　　

所以，AC＝.

答：敌舰与A，B两炮台的距离分别约3 111米和2 384米.

【总结】

解直角三角形的条件可分为两大类：

① 已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一斜边）

② 已知两边（一直角边，一斜边或两条直角边）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，

解直角三角形有以下基本类型：

课堂练习

1.如图，沿AC方向开山修路，为加快进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B测得∠ABD145°，BD500 m，∠D55°.要使A，C，E成一条直线，开挖点E离点D的距离是(    )

A.500sin 55° m　　　　　　B.500cos 55° m 

C.500tan 55° m D. m

2如图，露露从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时他离A地(    )

A.50 m B.100 m 

C.150 m D.100 m

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， ∠BAC的平分线AD＝，解这个直角三角形.

4.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形.

5.某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB，河流两岸AC、BD互相平行，河流对岸有两棵树A和C，且A、C之间的距离是60米，他们在D处测得∠BDC＝36°，前行140米后测得∠BPA＝45°，请根据这些数据求出河流的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据：tan 36°≈0.73，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81)

参考答案

1.B　【解析】∵ 在Rt△BDE中，cos D，

∴ DEBD·cos D500cos 55°.

2.D　【解析】∵ 在Rt△ABD中，∠ADB90°，∠B60°，ADAB·sin 60°

10050（m），BDAB·cos 60°10050（m），

∴ CD m.

∴ AC100（m）.

3.【解】 ∵ cos∠CAD＝＝＝，

∴ ∠CAD＝30°.

∵ AD平分∠BAC，

∴ ∠CAB＝60°，∠B＝30°.

∴ AB＝12，BC＝.

4.【解】∠A＝90°-∠B＝90°-30°＝60°.

∵ cos B＝，

∴ a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5.

∵ sin B＝，

∴ b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5.

5.【解】过点C作CH⊥BD，

则BH＝AC＝60米，

设AB为x米，则CH为x米.

在Rt△ABP中，tan 45°＝1，

∴ BP＝x米，

∴ HD＝BP+PD-BH＝x+140-60＝(x+80)(米).

在Rt△CHD中，

∵ tan∠CDH＝，

∴ x+80＝ ，

∴ x＝(x+80)tan 36°，

∴ x≈216.3.

即河流的宽度约为216.3米.

课堂小结

 (学生总结，老师点评)

解直角三角形

布置作业

教材第113页练习题第1，2题.

板书设计

课题　24.4　解直角三角形

1　解直角三角形及简单的应用　（第1课时）

一、解直角三角形的概念　　　　　　　　　　　　　　　　例1

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

二、解直角三角形的条件可分为两大类：　　　　　　　    例2

① 已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一斜边）

② 已知两边（一直角边，一斜边或两条直角边）　　     　例3

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