高中人教A版 (2019)第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第一课时精练

§2．2．1基本不等式限时作业（第一课时）

一．选择题

1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，

其中能使＋≥2成立的条件有(　　)

A．1个　                      B．2个

C．3个                        D．4个

2．“a>b>0”是“ab<”的                                            (　　)

A．充分而不必要条件       B．必要而不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b<<               B．a<<<b

C．a<<b<               D．<a<<b

4．已知t>0，则y＝的最小值为(　　)

A．－1                         B．－2

C．2                           D．－5

5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2                        B．4    

C．6                        D．8

6．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16　　　　　　　　　　       B．25

C．9                            D．36

7．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是               (　　)

A．                  B．4        

C．                  D．5

8．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值(　　)

A．3                           B．4

C．                           D．

二．填空题

9．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．

10．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．

三．解答题

11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

12．求下列函数的最值

（1）已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．

（2）已知x∈，求函数y＝＋的最小值．

参考答案

一．选择题

1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，

其中能使＋≥2成立的条件有(　　)

A．1个　                      B．2个

C．3个                        D．4个

解析：C

2．“a>b>0”是“ab<”的                                    (　　)

A．充分而不必要条件       B．必要而不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

解析：A

3．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b<<               B．a<<<b

C．a<<b<               D．<a<<b

解析：B

4．已知t>0，则y＝的最小值为(　　)

A．－1                         B．－2

C．2                           D．－5

解析：B

5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2                        B．4    

C．6                        D．8

解析：B

6．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16　　　　　　　　　　       B．25

C．9                            D．36

解析：B

7．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是               (　　)

A．                  B．4        

C．                  D．5

8．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值(　　)

A．3                           B．4

C．                           D．

解析：B

二．填空题

9．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．

解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，

由基本不等式可得，ab≤2＝，

因为ab的最大值为2，

所以＝2，M>0，所以M＝2．

10．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．

解析：因为x>0，y>0，＋＝1，

所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，

所以(3x＋4y)min＝25．

三．解答题

11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

解析：因为f(x)＝4x＋≥2＝4，

当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．

又因为x＝3，所以a＝4×32＝36．

12．求下列函数的最值

（1）已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．

（2）已知x∈，求函数y＝＋的最小值．

（1）解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0．

f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3

≤－2＋3＝1．

当且仅当5－4x＝时等号成立，

又5－4x>0，

所以5－4x＝1，x＝1．

所以f(x)max＝f(1)＝1．

（2）解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·，

而x∈，2·＋8·≥2＝8，

当且仅当2·＝8·，

即x＝∈时取到等号，则y≥18，

所以函数y＝＋的最小值为18．