高中数学高考课后限时集训39 基本不等式 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训39 基本不等式 作业，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
基本不等式建议用时：45分钟一、选择题1．下列命题中正确的是(　　)A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4D　[由x＞0知3x＋≥4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，则2－3x－≤2－4，因此函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4，故选D.]2．若log2x＋log2y＝1，则2x＋y的最小值为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．4D　[由log2x＋log2y＝1得，x＞0，y＞0且xy＝2.∴2x＋y≥2＝4，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立，故选D.]3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.        B．4       C.       D．5C　[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C.]4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)A．R<P<Q   B．Q<P<RC．P<Q<R   D．P<R<QC　[∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)A．80元   B．120元  C．160元   D．240元C　[设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C.]二、填空题6．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为        ．　[由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]7．已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为        ．4　[∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时等号成立．由题意知2＋2＝6，解得m＝4.]8．已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则＋的最小值是        ．5＋2　[由题意知8a×2b＝2，即23a＋b＝2，∴3a＋b＝1，∴＋＝(3a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝，即b＝a＝－2时等号成立．]三、解答题9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．[解]　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.当x<时，有3－2x>0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.1．(2019·上海高考改编)若x，y∈R＋，且＋2y＝3，则的最大值为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.D　[由x，y∈R＋得3＝＋2y≥2，∴≤，即≤，当且仅当＝2y＝，即x＝，y＝时等号成立，故选D.]2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.       B．2     C．2     D．4C　[由题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．∴≥，即ab≥2，故选C.]3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是        ．4　[设P，x0＞0.则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥4，当且仅当x0＝，即x0＝时等号成立．]4．某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？[解]　(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x＞3，y＞3)．(2)S＝1 808－3x－×＝1 808－≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．1．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为        ．4　[∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号．故的最小值为4.]2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．[解]　(1)设甲工程队的总造价为y元，则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400(3≤x≤6)，1 800＋14 400≥1 800×2×＋14 400＝28 800.当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元．(2)由题意可得，1 800＋14 400＞，对任意的x∈[3,6]恒成立．即＞，从而＞a恒成立，令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]又y＝t＋＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin＝12.25.所以0＜a＜12.25.