人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算导学案

这是一份人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算导学案，共9页。学案主要包含了第一课时，学习过程，第二课时等内容，欢迎下载使用。
复数的四则运算 【第一课时】复数的加、减运算及其几何意义学习重难点学习目标核心素养复数加法、减法的运算掌握复数代数形式的加法、减法运算法则数学运算复数加法的几何意义理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义直观想象【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？    2．复数的加、减法的几何意义是什么？    二、合作探究探究点1：复数的加、减法运算例1：（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．    解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．探究点2：复数加、减法的几何意义例2：已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．（1）求表示的复数；（2）求表示的复数．    解：（1）因为＝－，所以表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．（2）因为＝－，所以表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．解：因为＝＋，所以表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．解：由题意知，点M为OB的中点，则＝，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i．三、学习小结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．（2）加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．四、精炼反馈1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（　　）A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得⇒a＝－2．答案：－23．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．（1）求z1－z2；（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中．【第二课时】复数的乘、除运算学习重难点学习目标核心素养复数的乘除运算掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算数学运算复数乘法的运算律理解复数乘法的运算律逻辑推理解方程会在复数范围内解方程数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？    2．复数乘法的运算律有哪些？    3．如何在复数范围内求方程的解？    二、合作探究探究点1：复数的乘法运算例1：（1）（1－i）（1＋i）＝（　　）A．1＋i B．－1＋iC．＋i D．－＋i（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i（3）把复数z的共轭复数记作，已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z．    解：（1）选B．（1－i）（1＋i）＝（1－i）（1＋i）＝（1－i2）＝2＝－1＋i．（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．探究点2：复数的除法运算例2：计算：（1）；    （2）．    解：（1）＝＝＝＝＋i．（2）＝＝＝＝＝＝1－i．探究点3：i的运算性质例3：（1）复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（　　）A．1 B．－1C．i D．－i（2）等于________．解析：（1）z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．（2）＝＝＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．答案：（1）B（2）－i探究点4：在复数范围内解方程例4：在复数范围内解下列方程．（1）x2＋5＝0；    （2）x2＋4x＋6＝0．    解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，又因为（i）2＝（－i）2＝－5，所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为±i．（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，因为（i）2＝（－i）2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i，即x＝－2＋i或x＝－2－i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，所以又因为b≠0，所以解得a＝－2，b＝±．所以x＝－2±i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．三、学习小结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律（z1z2）z3＝z1（z2z3）乘法对加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z32．复数除法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），则＝＝＋i（c＋di≠0）．四、精炼反馈1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　　）A．－2 B．－C． D．2解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（　　）A． B．C． D．解析：选D．因为＝＝＝－＋i，所以||＝|－＋i|＝＝，故选D．3．计算：（1）＋；    （2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．    解：（1）＋＝＋＝i（1＋i）＋＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．