【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件进阶训练7　(范围：2.7～2.8)

进阶训练7　(范围：2.7～2.8)

一、基础达标

1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)

A.y2＝8x

B.y2＝－8x

C.y2＝8x或y2＝－8x

D.x2＝8y或x2＝－8y

答案　C

解析　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.

2.已知圆O：x2＋y2＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线相切，则p的值为(　　)

A.   B.2 

C.2   D.4

答案　B

解析　由题意可知，圆O是圆心为原点，半径为的圆，抛物线C的准线为x＝－，由于抛物线C的准线与圆O相切，故＝，解得p＝2.

3.已知直线与抛物线y2＝4x交于两点A、B，且两交点纵坐标之积为－16，则直线恒过定点(　　)

A.(1，0)   B.(2，0) 

C.(4，0)   D.(8，0)

答案　C

解析　设直线AB方程为x＝my＋n，

联立得y2－4my－4n＝0，

所以y1y2＝－4n＝－16，所以n＝4，

所以x＝my＋4，所以直线恒过定点(4，0).

4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3，O为坐标原点，则△AOF的面积与△BOF的面积之比为(　　)

A.   B. 

C.   D.2

答案　D

解析　由题意设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由消x得y2－4my－4＝0，

所以y1y2＝－4.

根据抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1＝3，

所以x1＝2，所以y＝4x1＝8，

不妨设y1＞0，解得y1＝2，

所以y2＝＝－，

故＝＝＝2.

5.(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠FPN的平分线交x轴于点Q，过Q作QN⊥PE交EP的延长线于N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则(　　)

A.|PE|＝|PF|   B.|PF|＝|QF|

C.|PN|＝|MF|   D.|PN|＝|KF|

答案　ABD

解析　由抛物线的定义知|PE|＝|PF|，A正确；

∵PN∥QF，PQ是∠FPN的平分线，

∴∠FQP＝∠NPQ＝∠FPQ，

∴|PF|＝|QF|，B正确；

若|PN|＝|MF|，由PQ是∠FPN的平分线，QN⊥PE，QM⊥PF得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，这样就有|QP|＝|QF|，△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；

连接EF，由选项A，B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，所以四边形EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，显然|EK|＝|QN|，∴|KF|＝|PN|，D正确.

6.已知双曲线－＝1的一个焦点为(2，0).若已知M(4，0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，则|MN|的最小值是________.

答案　3

解析　由题意，可知m＋3m＝4，∴m＝1，

∴双曲线的方程为x2－＝1.

由x2－＝1，得y2＝3x2－3，

∴|MN|＝＝

＝.又x≤－1或x≥1.

∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.

7.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.

答案　

解析　由椭圆方程可知其右焦点F的坐标为(1，0)，故可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得方程组

解得A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝|OF||yA－yB|＝.

8.若双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.

答案　(0，1)∪(1，)

解析　将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.

依题意

∴0<a<且a≠1.

9.已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程.

解　由题意可得，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x.

①直线x＝1与双曲线只有一个公共点.

②直线l过点P(1，1)且平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，方程为y－1＝±2(x－1)，即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0.

③设过点P的切线方程为y－1＝k(x－1)，与双曲线x2－＝1联立，利用Δ＝0可得k＝，方程为y＝x－，

即5x－2y－3＝0.

故直线l的方程为x－1＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0或5x－2y－3＝0.

10.设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.

(1)解　由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，

可得点A的坐标为或.

又M(2，0)，

所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.

(2)证明　当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，

设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.

由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得

kMA＋kMB＝.

将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得

(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.

从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA＝∠OMB.

综上，∠OMA＝∠OMB.

二、能力提升

11.若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则·的值为(　　)

A.3   B.4

C.5   D.与点P的位置有关

答案　A

解析　设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为P是切点，

所以MP的方程为－y0y＝1，

且x－4y＝4，

由解得同理

所以·＝x1x2＋y1y2＝·－·＝＝＝3.

12.已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，则实数k的取值范围为________.

答案　(－2，0)

解析　设抛物线上的点A(y，y1)，B(y，y2)关于直线l对称，

则得

所以y1，y2是方程y2＋ky＋＋－＝0的两个不同根.所以Δ＝k2－4＞0，解得－2＜k＜0.故实数k的取值范围是(－2，0).

13.设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.

(1)求点P的轨迹方程E；

(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：＋为定值.

(1)解　设P(x，y)，则N(x，0)，＝(0，y)，

又因为＝＝，所以M，

由点M在椭圆上，得＋＝1，

即＋＝1.

即点P的轨迹方程E为＋＝1.

(2)证明　当l1与x轴重合时，|AB|＝6，

|CD|＝，所以＋＝.

当l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，

所以＋＝.

当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则l2的方程为y＝－(x－1).

联立得

消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|AB|＝＝，

同理可得|CD|＝，

所以＋＝＋＝，为定值.

综上，＋为定值.

三、创新拓展

14.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，则k＝________时⊥，此时|AB|的值为________.

答案　±　

解析　设P(x，y)，由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2，短半轴长b＝＝1的椭圆，

故曲线C的方程为x2＋＝1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，其中Δ＝(2k)2＋12(k2＋4)>0恒成立，

故x1＋x2＝－，x1x2＝－.

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.

∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1

＝＝0，∴k＝±.

当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.

|AB|＝

＝，

而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2

＝＋4×＝，

∴|AB|＝ ＝.