进阶训练6　(范围：2.6)

一、基础达标

1.若双曲线x2－＝1的焦距为6，则实数m＝(　　)

A.2   B.3 

C.9   D.8

答案　D

解析　双曲线焦点在x轴上，其焦距为2＝6，∴m＝8.

2.已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　)

A.16   B.8 

C.2   D.1

答案　C

解析　双曲线焦点在x轴，渐近线为y＝x，即＝，∴m＝1，即b＝1，∴2b＝2.

3.(多选)已知双曲线C：－＝1，给出以下四个命题，其中是真命题的是(　　)

A.直线y＝x＋1与双曲线有两个交点

B.双曲线C与－＝1有相同的渐近线

C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3

D.双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)

答案　BC

解析　由于直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点，故A错，B正确，两曲线的渐近线为y＝±x；右焦点(，0)到渐近线的距离为3，故C正确；由c2＝13，∴焦点为(－，0)，(，0).

4.(多选)关于x，y的方程＋＝1对应的曲线可能是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的双曲线

D.圆

答案　ABD

解析　由m2＋2>3m2－2，得－<m<，由3m2－2>0，解得m<－或m>，故当m∈∪时，方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；由3m2－2>m2＋2，解得m<－或m>，此时方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；因为m2＋2＞0，所以该曲线不能表示焦点在y轴上的双曲线，C错误；当m2＝2时，方程为x2＋y2＝4，表示的曲线是圆，所以D正确.

5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)

A.   B. 

C.2   D.

答案　B

解析　∵P在双曲线的右支上，

∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，∵|PF1|＝4|PF2|，∴4|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝a，

根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|＝a≥c－a，

∴a≥c，又∵e>1，∴1<e≤，

∴此双曲线的离心率e的最大值为.

6.已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点.若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________________，其离心率为________.

答案　－＝1　2

解析　因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4，又c2＝a2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝＝2.

7.已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有共同的焦点F1，F2，则m＝________.

答案　4

解析　椭圆的焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，所以＝3，∴m＝4.

8.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为________.

答案　

解析　设F为右焦点，其坐标为(c，0)，令x＝c，代入y＝±x，可得y＝±，

∵S△OAB＝bc，∴··c＝，

∴＝，则e＝.

9.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴之长差为4，离心率 之比为3∶7.求这两条曲线的方程.

解　由已知c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，

则

解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

10.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，求双曲线的离心率.

解　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，

则由圆心到直线的距离为1，可得＝1，解得a＝b，

则c＝＝＝a，

∴e＝＝.

二、能力提升

11.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是(　　)

A.－1   B.

C.   D.＋1

答案　ABD

解析　①若该圆锥曲线E是椭圆，当C＝时，离心率e＝＝＝，当C＝时，离心率e＝＝＝－1.

②若该圆锥曲线E是双曲线，根据双曲线的特征可知只能C＝，此时，离心率e＝＝＝＝＋1.

12.(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)

A.若C为椭圆，则1<t<3

B.若C为双曲线，则t>3或t<1

C.曲线C可能是圆

D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2

答案　AD

解析　若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；

若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；

若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；

若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；

若t＝2，方程＋＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆.

13.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求·的值.

解　(1)∵e＝，

∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，

∵双曲线过点P(4，－)，

∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线的方程为x2－y2＝6.

(2)由(1)可知a＝b＝，得c＝2，

则F1(－2，0)，F2(2，0)，

＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)，

从而·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝－3＋m2，由于点M(3，m)在双曲线上，

∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

故·＝0.

三、创新拓展

14.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　)

A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1

D.△PF1F2的面积为1

答案　ACD

解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，A正确；由题意得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，B错误；F1(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，则所求距离为1，C正确；由题意得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，根据·＝0，解得x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为1，D正确.