选择性必修第一册综合测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册本册综合课后作业题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线2x-by+4=0的斜率等于-12,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A.1B.2C.4D.12
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,若AB1·C1B=-2,则正方体的棱长等于( )
A.2B.22C.2D.4
3.已知圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离等于2的点,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,-1)∪(1,3)B.(-3,3)
C.[-1,1]D.[-3,-1]∪[1,3]
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.线段B.圆弧
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2(2,0),点P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x C.y=±2x D.y=±12x
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足( )
A.AD=23AB B.AD=12AB C.AD=22AB D.AD=36AB
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率e为( )
A.12B.32C.3-12D.3-1
8.过抛物线C:y2=4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,与抛物线分别交于A,B和M,N,O为坐标原点,则△OAB与△OMN的面积的倒数的平方和为( )
A.1B.2C.14D.12
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是( )
A.若|a|=2,则m=±2
B.若a⊥b,则m=-1
C.不存在实数λ,使得a=λb
D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)
10.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的值可以是( )
A.1B.2C.3D.4
11.已知双曲线E的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(3,2),(6,11),则下列结论中正确的是( )
A.E的标准方程为x23-y2=1
B.E的离心率等于3
C.E与双曲线y22-x26=1的渐近线相同
D.直线x-2y-1=0与E有且仅有一个公共点
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点,则下列结论中正确的是( )
A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1
C.BF⊥DGD.A1E∥CH
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若直线l1:x+ay-1=0与直线l2:(a-2)x+8y-2=0平行,则实数a的值为 .
14.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为 .
15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线的交点坐标为-43,83,且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标为(x0,4),则双曲线的方程为 .
16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图,空间四边形OABC的各边及对角线长都为2,E是AB的中点,F在OC上,且OF=2FC.
(1)用{OA,OB,OC}表示EF;
(2)求向量OE与向量BF所成角的余弦值.
18.(本小题满分12分)已知直线l:x+3y-4=0,圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3,且圆心C到直线l的距离为3105.
(1)求圆C的方程;
(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线,切点分别为M,N,若∠MQN=120°,求点Q的坐标.
19.(本小题满分12分)如图1,CD是正三角形ABC的边AB上的高,E是AC的中点,现将三角形ABC沿CD折起,使得平面ADC⊥平面BDC,如图2.
(1)求异面直线BC与DE所成角的余弦值;
(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?若存在,求出P点的位置;若不存在,说明理由.
图1 图2
20.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x与直线l2:y=-x之间的阴影部分记作W,区域W中动点P(x,y)到l1,l2的距离之积为1.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)动直线l穿过区域W,分别交直线l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.
21.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直,BE∥AF,∠BEF=90°,∠BAF=30°,BF=2,AF=4.
(1)求证:BF⊥AC;
(2)若直线AC与平面ABEF所成的角等于30°,求钝二面角D-CF-E的余弦值.
22.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且以其两焦点为直径两端点的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D的坐标及该定值;若不存在,试说明理由.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A 依题意有2b=-12,所以b=-4,于是直线方程为2x+4y+4=0,即x-2+y-1=1,因此直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12×|-1|×|-2|=1.
2.C 设正方体的棱长为a,则有AB1·C1B=|AB1||C1B|cs=2a·2a·cs 120°=-a2,则有-a2=-2,故a=2.
3.D 依题意,圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有公共点,即两圆相交或相切,因此22-2≤(a-0)2+(a-0)2≤22+2,即1≤|a|≤3,所以a∈[-3,-1]∪[1,3].
4.D ∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴D1C1⊥侧面BCC1B1,
∴D1C1⊥PC1,∴PC1的长为P到直线D1C1的距离,又P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,∴PC1的长等于P到直线BC的距离,由抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线的一部分.
5.A 由题知c=2,所以|F1F2|=4,又|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,又△PF1F2的周长为10,所以|PF1|+2+4=10,解得|PF1|=4,所以|PF1|-|PF2|=2=2a,解得a=1,又a2+b2=c2,所以b=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±3x.
6.B ∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,∴在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直.以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4),CB1=(0,4,4).设点D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则CD=(x,y,0),设平面CDB1的一个法向量为m=(a,b,c),则m·CD=0,m·CB1=0,即ax+by=0,4b+4c=0,令b=-x,则m=(y,-x,x).若AC1∥平面CDB1,则AC1·m=0,易得AC1=(-3,0,4),所以-3y+4x=0①.由D在AB上,得x-3-3=y4,即4x+3y=12②,由①②可得x=32,y=2,即D为AB的中点,故AD=12AB.
7.D 设椭圆的半焦距为c,则F(-c,0),设点F关于直线3x+y=0的对称点为A(x0,y0),则有y0x0+c·(-3)=-1,3·x0-c2+y02=0,解得x0=c2,y0=32c,代入椭圆方程可得c24a2+3c24b2=1,化简可得e4-8e2+4=0,
又08.C 由抛物线方程得焦点F(1,0),设直线l1的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,故|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+2+2=4m2+4.又原点到直线l1的距离d=11+m2,所以S△OAB=12×11+m2×4(m2+1)=21+m2.因为l1⊥l2,则S△OMN=21+1m2=21+m2m2,所以1S△OAB2+1S△OMN2=14(1+m2)+m24(1+m2)=14.
二、多项选择题
9.AC 由|a|=2得12+(-1)2+m2=2,解得m=±2,故A选项正确;由a⊥b得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B选项错误;若存在实数λ,使得a=λb,则1=-2λ,-1=λ(m-1),m=2λ,显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb,故C选项正确;若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D选项错误.
10.AB 过P点作圆的两条切线,切点分别是A,B,依题意得,四边形PACB是正方形,又C:(x-2)2+y2=4,
∴|PC|=2|AC|=22.
∴P点在以C为圆心,22为半径的圆上,
其方程为(x-2)2+y2=8.
依题意得,直线y=k(x+1)与圆(x-2)2+y2=8有公共点,
∴|2k+k|k2+1≤22,解得-22≤k≤22.
故选项A、B正确.
11.ACD 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),由已知得9m+2n=1,36m+11n=1,解得m=13,n=-1,故双曲线的标准方程为x23-y2=1,故A选项正确;离心率e=3+13=233,故B选项错误;E的渐近线方程为y=±13x=±33x,双曲线y22-x26=1的渐近线方程为y=±26x=±33x,故C选项正确;联立x-2y-1=0,x23-y2=1,消去x得y2-22y+2=0,Δ=(-22)2-4×2=0,故D选项正确.
12.BCD 设正方体的棱长为1,以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),E1,12,0,C(0,1,0),F0,1,12,C1(0,1,1),H0,12,1,G12,0,1,A(1,0,0),B(1,1,0),则A1E=0,12,-1,AC1=(-1,1,1),BF=-1,0,12,DG=12,0,1,CH=0,-12,1,显然平面ADD1A1的一个法向量v=(0,1,0).所以A1E·AC1=-12,BF·v=0,BF·DG=0,A1E=-CH,故B、C、D正确,A不正确.
三、填空题
13.答案 -2
解析 由题意得1×8=a(a-2),解得a=4或a=-2.当a=4时,两直线重合;当a=-2时,两直线平行,因此实数a的值为-2.
14.答案 102
解析 过B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,则可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.由于BD=BM+MN+ND,BM,MN,ND两两垂直,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BM·MN+MN·ND+BM·ND)=322+12+322+2×(0+0+0)=52,故|BD|=102.
15.答案 x25-y220=1
解析 由点-43,83在抛物线的准线上,可得p=43×2=83,于是抛物线的方程为y2=163x,因为点-43,83在双曲线的渐近线上,所以83=-ba×-43,所以ba=2.因为点M(x0,4)在抛物线上,所以42=163x0,解得x0=3,于是M(3,4),所以32a2-42b2=1,结合ba=2可得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为x25-y220=1.
16.答案 105
解析 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
所以BD=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1).
设平面B1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·BD=0,n·BB1=0,即-2x-2y=0,2z=0,令y=1,则n=(-1,1,0),所以cs=n·BE|n||BE|=105.
设直线BE与平面B1BD所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=105.
四、解答题
17.解析 (1)因为E是AB的中点,F在OC上,且OF=2FC,
所以OE=12(OA+OB),OF=23OC,(2分)
于是EF=OF-OE=23OC-12(OA+OB)=-12OA-12OB+23OC.(5分)
(2)由(1)得OE=12(OA+OB),BF=OF-OB=23OC-OB,(6分)
因此|OE|=12|OA+OB|=12×4+4+2×2×2×12=3,(7分)
|BF|=23OC-OB
=49×4+4-43×2×2×12=273,(8分)
又因为OE·BF=12(OA+OB)·23OC-OB=-53,(9分)
所以向量OE与向量BF所成角的余弦值为=OE·BF|OE||BF|=-533×273=-52142.(10分)
18.解析 (1)依题意设圆心C(a,0)(a<0),(1分)
则|a-4|10=3105,解得a=-2或a=10,(3分)
由于a<0,所以a=-2,
因此圆的方程为(x+2)2+y2=3.(5分)
(2)因为∠MQN=120°,所以∠MQC=60°.(6分)
在Rt△MQC中,CM=3,所以CQ=2.(7分)
设Q(x0,y0),
则有x0+3y0-4=0,(-2-x0)2+(0-y0)2=2,(9分)
解得x0=-2,y0=2或x0=-45,y0=85,(11分)
因此点Q的坐标为(-2,2)或-45,85.(12分)
19.解析 (1)易得DB,DC,DA两两互相垂直,故以D为坐标原点,直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设折起前三角形ABC的边长为a(a>0),
则D(0,0,0),Ba2,0,0,C0,32a,0,E0,34a,a4,(2分)
所以BC=-a2,32a,0,DE=0,3a4,a4,(3分)
所以cs=BC·DE|BC||DE|=38a2a·a2=34,(5分)
因此异面直线BC与DE所成角的余弦值为34.(6分)
(2)假设在线段BC上存在点P,使AP⊥DE,BP=λBC(0≤λ≤1),
则BP=λ-a2,32a,0
=-λa2,3λ2a,0,
则Pa2-λa2,3λ2a,0,又A0,0,a2,于是AP=a2-λa2,3λ2a,-a2.(9分)
由于AP⊥DE,所以AP·DE=0,即a2-λa2,3λ2a,-a2·0,34a,a4=0,
所以38λa2-18a2=0,解得λ=13.(11分)
故线段BC上存在点P,使AP⊥DE,此时BP=13BC.(12分)
20.解析 (1)由题意得|x-y|2·|x+y|2=1,
即|(x+y)(x-y)|=2.(1分)
因为点P在区域W内,
所以x+y与x-y同号,(2分)
所以|(x+y)(x-y)|=x2-y2=2,
即点P的轨迹C的方程为x22-y22=1.(4分)
(2)证明:设直线l与x轴相交于点D,
当直线l的斜率不存在时,
|OD|=2,|AB|=22,
所以S△OAB=12|AB|·|OD|=2.(5分)
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m(k≠±1,m≠0),
显然k≠0,则D-mk,0,
把直线l的方程与C:x2-y2=2联立,得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,(6分)
由直线l与轨迹C有且只有一个公共点,
知Δ=4k2m2-4(k2-1)(m2+2)=0,
得m2=2(k2-1).(8分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,y=x得y1=m1-k,
同理可得y2=m1+k.(9分)
所以S△OAB=12|OD||y1-y2|
=12-mkm1-k-m1+k=m21-k2=2.(11分)
综上,△OAB的面积恒为定值2.(12分)
21.解析 (1)证明:在△ABF中,由正弦定理可得BFsin∠BAF=AFsin∠ABF,
所以sin∠ABF=AF·sin∠BAFBF=4sin 30°2=1,因此∠ABF=90°,即BF⊥AB.
(2分)
又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
所以BF⊥平面ABCD,(4分)
因为AC⊂平面ABCD,
所以BF⊥AC.(5分)
(2)由于ABCD是矩形,所以CB⊥AB,
又因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
所以CB⊥平面ABEF,
故直线AC与平面ABEF所成的角为∠CAB,所以∠CAB=30°.
因为AB=AF2-BF2=23,
所以CB=AB·tan 30°=2.
易得△ABF∽△FEB,所以BE=1,EF=3.(7分)
以B为原点,BA,BF,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(23,0,2),C(0,0,2),F(0,2,0),E-32,12,0,(8分)
所以DC=(-23,0,0),DF=(-23,2,-2),CE=-32,12,-2,CF=(0,2,-2),
设平面DCF的一个法向量为n1=(x,y,z),则有-23x=0,-23x+2y-2z=0,取y=1,得x=0,z=1,所以n1=(0,1,1).(9分)
设平面CFE的一个法向量为n2=(a,b,c),则有-32a+12b-2c=0,2b-2c=0,取b=1,得c=1,a=-3,所以n2=(-3,1,1).(10分)
所以cs=n1·n2|n1||n2|=22·5=105,(11分)
故钝二面角D-CF-E的余弦值为-105.(12分)
22.解析 (1)由已知可得ca=22,2csin π4=2,a2=b2+c2,
解得a2=2,b2=c2=1,
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(4分)
(2)由x22+y2=1,y=kx+2得(1+2k2)x2+8kx+6=0,(5分)
由Δ=64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,
解得k<-62或k>62.(7分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-8k1+2k2,x1x2=61+2k2,
假设存在点D(0,m)满足题意,
则kAD=y1-mx1,kBD=y2-mx2,
所以kAD+kBD=y1x2+y2x1-m(x1+x2)x1x2 =2kx1x2+(2-m)(x1+x2)x1x2 =6k-4k(2-m)3.(9分)
要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4km=2(2m-1)k的值与参数k无关,故2m-1=0,解得m=12,当m=12时,kAD+kBD=0.(11分)
综上所述,存在点D0,12,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.(12分)