【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练8　求平面的法向量

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限时小练8　求平面的法向量1.设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)A.(－1，－2，5)   B.(－1，1，－1)C.(1，1，1)   D.(1，－1，－1)答案　B解析　平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合.2.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC的一个法向量为________.(写出一个正确的即可)答案　(6，3，2)(答案不唯一)解析　由已知可得＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(－1，2，0)＝－x＋2y＝0，n·＝(x，y，z)·(－1，0，3)＝－x＋3z＝0.不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量.3.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.解　以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1).(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，∴得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1).即n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量.