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【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练5 用空间向量基本定理判断直线与平面的位置关系
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限时小练5 用空间向量基本定理判断直线
与平面的位置关系
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
证明 设＝a，＝c，＝b，
有a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，
则＝＋
＝(＋)
＝(＋)
＝(＋－)
＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.
同理EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点.
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明 (1)设正方体棱长为1，＝i，＝j，＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底.
＝＋＝i＋k，
＝＋＝i＋k＝，
∴AB1∥GE.
＝＋＝k＋(i＋j)
＝－i－j＋k，
∵·＝(i＋k)·
＝－|i|2＋|k|2＝0，
∴AB1⊥EH.
(2)＝＋＋＝－k＋j＋i，
＝＋＝i－j，
＝＋＝i＋k.
∴·＝·
＝－|j|2＋|i|2＝0，
∴A1G⊥DF.
·＝·
＝－|k|2＋|i|2＝0，
∴A1G⊥DE.
又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面EFD，
∴A1G⊥平面EFD.
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