2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案章末检测试卷(二)

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线x＋y＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
答案 D
解析 因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°.
2．过点(0，－2)且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为( )
A．2x－y＋2＝0 B．x＋2y＋2＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案 C
解析 设该直线方程为2x－y＋m＝0，
由于点(0，－2)在该直线上，
则2×0＋2＋m＝0，即m＝－2，
即该直线方程为2x－y－2＝0.
3．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
4．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A.eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝eq \r(3)，弦心距d＝eq \f(|－1＋0－1|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
所以所求的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2.
5．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心A(3,0)．
因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.
又AP的斜率k＝eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，
所以直线MN的斜率为2，
所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
6．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是eq \r(5)，则m＋n等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 A
解析 由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝eq \f(|m＋3|,\r(12＋－22))＝eq \f(|m＋3|,\r(5))＝eq \r(5)，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0.
7．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．2eq \r(3) B．3eq \r(3) C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)
答案 C
解析 由题意，知M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，
故其方程为x＋y－6＝0，
所以M到原点的距离的最小值为d＝eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2).
8．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1 C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
答案 A
解析 由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5eq \r(2)，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0) B．(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
答案 AC
解析 设B点坐标为(x，y)，
根据题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(x－32＋y－32)＝\r(0－32＋4－32)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6.))
10．由点A(－3,3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为( )
A．4x－3y－3＝0 B．4x＋3y＋3＝0
C．3x＋4y－3＝0 D．3x－4y＋3＝0
答案 BC
解析 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，
它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1，
设光线l所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，即kx－y＋3k＋3＝0，
由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，
即d＝eq \f(|5k＋5|,\r(1＋k2))＝1.
整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－eq \f(3,4)，
或k＝－eq \f(4,3).
故所求的直线方程是y－3＝－eq \f(3,4)(x＋3)或y－3＝－eq \f(4,3)(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
11．已知直线l：(a＋1)x＋ay＋a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则下列结论正确的是( )
A．存在a，使得l的倾斜角为90°
B．存在a，使得l的倾斜角为135°
C．存在a，使直线l与圆C相离
D．对任意的a，直线l与圆C相交，且a＝1时相交弦最短
答案 AD
解析 选项A，当a＝0时，直线方程为x＝0，此时倾斜角为90°，A正确；
选项B，当倾斜角为135°时，直线斜率为－1，即－eq \f(a＋1,a)＝－1，解得a为空集，B错误；
选项C，圆C的圆心为C(2,0)，半径r＝3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为eq \f(|a＋1×2＋a|,\r(a＋12＋a2))＞3，整理得9a2＋6a＋5＜0，不等式无解，C错误；
选项D，直线过定点M(0，－1)，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于－1，即－eq \f(a＋1,a)×eq \f(0－－1,2－0)＝－1，解得a＝1，此时弦长最短，D正确．
12．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36
答案 CD
解析 ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由eq \r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知A(0，－1)，点B在直线x－y＋2＝0上，若直线AB平行于直线x＋2y－3＝0，则B点坐标为________．
答案 (－2,0)
解析 因为直线AB平行于直线x＋2y－3＝0，
所以设直线AB的方程为x＋2y＋m＝0，
又点A(0，－1)在直线AB上，
所以0＋2×(－1)＋m＝0，解得m＝2，
所以直线AB的方程为x＋2y＋2＝0，
联立两直线方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,x＋2y＋2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝0，))故B点坐标为(－2,0)．
14．过点(1,2)可作圆x2＋y2＋2x－4y＋k－2＝0的两条切线，则实数k的取值范围是________．
答案 (3,7)
解析 把圆的方程化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝7－k，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝eq \r(7－k)，
则点(1,2)到圆心的距离d＝2.
由题意，可知点(1,2)在圆外，
∴d>r，即eq \r(7－k)<2，且7－k>0，
解得315．已知P(a，b)为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0上任意一点，则eq \f(b－1,a＋1)的最大值为___________．
答案 eq \f(4,3)
解析 圆的方程即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，代数式eq \f(b－1,a＋1)表示圆上的点(a，b)与定点(－1,1)连线的斜率，设过点(－1,1)的直线方程为y－1＝k(x＋1)，与圆的方程联立，可得(k2＋1)x2＋(2k2－2k－2)x＋(k－1)2＝0，考虑临界条件，令Δ＝(2k2－2k－2)2－4(k2＋1)(k－1)2＝0，可得k1＝0，k2＝eq \f(4,3)，则eq \f(b－1,a＋1)的最大值为eq \f(4,3).
16．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
答案 3或7
解析 ∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．
当两圆内切时，由eq \r(32＋42)＝|2－r|，解得r＝7；
当两圆外切时，由eq \r(32＋42)＝2＋r，解得r＝3.
∴r＝3或7.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18．(12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.
解 设点P的坐标为(a,0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d，
由已知，得S△ABP＝eq \f(1,2)|AB|·d
＝eq \f(1,2)eq \r(3－12＋3－22)·d＝5，解得d＝2eq \r(5).
由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，
所以d＝eq \f(|a＋3|,\r(1＋－22))＝2eq \r(5)，
解得a＝7或a＝－13(舍去)，
所以点P的坐标为(7,0)．
19．(12分)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解 (1)由直线方程的点斜式，
得y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|3×－2＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，
即eq \f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
20．(12分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2 997 m，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统．如图，已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状)，路面宽为4eq \r(5) m，高4 m．车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由．(参考数据：eq \r(14)≈3.74)
解 如图，建立平面直角坐标系，设圆心M(0，m)，A(2eq \r(5)，0)，B(0,4)，
由|MA|＝|MB|得，m＝－eq \f(1,2)，
则圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2，
所以当x＝2.5时，y＝eq \r(14)－eq \f(1,2)≈3.24<3.5.
即一辆宽为2.5 m，高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道．
21．(12分) 已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r＝2))
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)如图，
四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM
即S＝eq \f(1,2)(|AM||PA|＋|BM||PB|)，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝eq \r(|PM|2－4)，即S＝2eq \r(|PM|2－4).
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
|PM|的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，
所以|PM|min＝eq \f(3＋4＋8,5)＝3，
四边形PAMB面积的最小值为2eq \r(|PM|2－4)＝2eq \r(5).
22．(12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
(1)解 不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又点C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为eq \f(－1,x1)·eq \f(－1,x2)＝－eq \f(1,2)≠－1，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明 BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，\f(1,2)))，可得BC的中垂线方程为y－eq \f(1,2)＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2))).
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－eq \f(m,2).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))，))
又xeq \\al(2,2)＋mx2－2＝0，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，－\f(1,2)))，半径r＝eq \f(\r(m2＋9),2).
故圆在y轴上截得的弦长为2eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2)＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．