【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练10　利用空间向量证明垂直问题

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限时小练10　利用空间向量证明垂直问题1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.2.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：(1)BC1⊥AB1；(2)BC1∥平面CA1D.证明　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2).(1)因为＝(0，－2，－2)，＝(－2，2，－2)，所以·＝0－4＋4＝0，因此⊥，故BC1⊥AB1.(2)由于＝(2，0，－2)，＝(1，1，0)，若设＝x＋y，则得解得即＝－2，所以，，是共面向量，又因为BC1⊄平面CA1D，因此BC1∥平面CA1D.