2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案模块综合试卷

这是一份高中全册综合导学案，共14页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－eq \f(1,2)(x－3) B．y＝－eq \f(1,2)(x＋3)
C．y＝eq \f(1,2)(x－3) D．y＝eq \f(1,2)(x＋3)
答案 B
解析 因为直线y＝2x－3的斜率为2，
所以直线l的斜率为－eq \f(1,2).
又直线l过点(－3,0)，
故所求直线的方程为y＝－eq \f(1,2)(x＋3)．
2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq \f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
答案 A
解析 抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，
∴椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，∴c＝1，
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 A
解析 圆心在y＝x上，设圆心坐标为(a，a)，
∵圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，
∴圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，
即eq \f(|2a|,\r(2))＝eq \f(|2a－4|,\r(2))⇒a＝1，
∴圆心坐标为(1,1)，R＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 C
解析 |eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1·cs 120°＝2.
∴|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
5．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为( )
A．4 B．2 C.eq \f(8,5) D.eq \f(12,5)
答案 A
解析 根据题意，知点P在圆C上，
∴切线l的斜率k＝－eq \f(1,kCP)＝eq \f(－1,\f(1－4,2＋2))＝eq \f(4,3)，
∴切线l的方程为y－4＝eq \f(4,3)(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.
又直线m与切线l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0.
故切线l与直线m间的距离d＝eq \f(|0－20|,\r(42＋－32))＝4.
6．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过点(4,0)的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(2，－1)，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 B
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，
因为AB的中点坐标为(2，－1)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2b2,y1＋y2a2)＝eq \f(2b2,a2)，
又kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(0＋1,4－2)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(2b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a＝2b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(3),2).
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则当△PA1C的面积最小时，DP等于( )
A．1 B．2 C.eq \f(5,2) D．4
答案 A
解析 根据题意，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设DP＝x(0≤x≤5)，
故可得P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)，
由空间中两点之间的距离公式可得|A1P|＝eq \r(4＋x－52)＝eq \r(x2－10x＋29)，
|PC|＝eq \r(1＋x2)，|A1C|＝eq \r(30)，
故在△PA1C中，由余弦定理可得cs∠A1PC＝eq \f(|A1P|2＋|PC|2－|A1C|2,2|A1P|·|PC|)
＝eq \f(x2－5x,\r(x2－10x＋29)×\r(1＋x2))，
则sin∠A1PC＝eq \r(1－cs2∠A1PC)
＝eq \f(\r(5x2－10x＋29),\r(x2－10x＋29x2＋1))，
故＝eq \f(1,2)sin∠A1PC×|A1P|×|PC|
＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(5x2－10x＋29),\r(x2－10x＋29x2＋1))×eq \r(x2－10x＋29)×eq \r(1＋x2)
＝eq \f(1,2)eq \r(5x2－10x＋29)＝eq \f(1,2)eq \r(5x－12＋24)，
当且仅当x＝1时，△PA1C的面积最小．
故满足题意时，DP＝1.
8.如图，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C.eq \r(7) D．3
答案 C
解析 根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|，
∴|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，
又|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.
∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs 120°，
即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝28a2，得c＝eq \r(7)a，
由此可得双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是( )
A．－13 B．13 C．15 D．18
答案 BC
解析 圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
则圆心C(1，－2)，半径r＝5，
若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，
则圆心C(1，－2)到直线l的距离d<3，如图．
即eq \f(|4×1＋3×－2＋c|,5)＝eq \f(|c－2|,5)<3，
∴－1310．设F1，F2为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为eq \f(\r(15),7)的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是( )
A．直线l的倾斜角的余弦值为eq \f(7,8)
B．若|F1P|＝|F1F2|，则C的离心率e＝eq \f(4,3)
C．若|PF2|＝|F1F2|，则C的离心率e＝2
D．△PF1F2不可能是等边三角形
答案 AD
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝eq \f(\r(15),7)，∴cs α＝eq \f(7,8)，故A正确．
P在第一象限内，若|F1P|＝|F1F2|，则|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c－2a，由余弦定理得eq \f(4c2＋4c2－2c－2a2,8c2)＝eq \f(7,8)，整理得3e2－8e＋4＝0，解得e＝2或e＝eq \f(2,3)(舍)，故B错误．
若|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，由余弦定理得eq \f(4c2＋2c＋2a2－4c2,8cc＋a)＝eq \f(7,8)，整理得3e2－e－4＝0，解得e＝eq \f(4,3)或e＝－1(舍)．故C错误．
由|PF1|>|PF2|，知△PF1F2不可能为等边三角形，故D正确．
11．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 由题意，得以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，且∠ABD＝90°，
由抛物线定义，可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FBD＝30°，
∵S△ABF＝eq \f(\r(3),4)|BF|2＝9eq \r(3)，
∴|BF|＝6.
又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin 30°＝3，
则抛物线方程为y2＝6x，
则BCD正确，A错误．
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．则( )
A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所成的角为30°
答案 CD
解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设BC＝1，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，1))，N(1,0,1)，
从而eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(2,1，－2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)．
∵eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝－2×1≠0，∴A错误；
∵eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝－2×2＋2×1＝－2≠0，∴B错误；
设平面ANMD的法向量为n＝(x，y，z)，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD,\s\up6(→))＝0，,n·\(AN,\s\up6(→))＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,x＋z＝0，))
令x＝1，得n＝(1,0，－1)．
∴eq \(PB,\s\up6(→))＝2n，∴PB⊥平面ANMD，∴C正确；
∵cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(BD,\s\up6(→))·n,|\(BD,\s\up6(→))|·|n|)＝－eq \f(1,2)，
∴BD与平面ANMD所成的角为30°，∴D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
答案 x－2y＋2＝0
解析 根据题意，设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，
则eq \f(|C－4|,\r(12＋－22))＝eq \f(|C|,\r(12＋－22))，
解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq \r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，则p＝________.
答案 2
解析 如图，由AB的斜率为eq \r(3)，
知α＝60°，又eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，
∴M为AB的中点．
过点B作BP⊥准线l于点P，
则∠ABP＝60°，
∴∠BAP＝30°.
∴|BP|＝eq \f(1,2)|AB|＝|BM|.
∴M为焦点，即eq \f(p,2)＝1，
∴p＝2.
15．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是________．
答案 30°
解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a，0,0)，B(0，a，0)，C(－a，0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，
从而eq \(CA,\s\up6(→))＝(2a，0,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，
eq \(CB,\s\up6(→))＝(a，a，0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AP,\s\up6(→))＝0，))可得n＝(0,1,1)，
则cs〈n，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(CB,\s\up6(→)),|n|·|\(CB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.
16．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则m的值为________．
答案 2 ±1
解析 直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0,2)，r＝eq \r(2)，圆心C到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)≥2，
即弦长|AB|的最小值为2.
S△ABC＝eq \f(1,2)r2sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2)，
即∠ACB＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
若∠ACB＝eq \f(π,3)，则圆心到弦AB的距离为eq \f(\r(6),2)>1＝|CM|，故不符合题意；
若∠ACB＝eq \f(2π,3)，圆心到直线的距离为eq \f(\r(2),2)<1＝|CM|，
设弦AB的中点为N，
又|CM|＝1，故∠NCM＝eq \f(π,4)，
即直线的倾斜角为eq \f(π,4)，则m的值为±1.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．证明：
(1)对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
证明 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过定点M(2，－2)．
(2)过P作直线的垂线段PQ(图略)，
由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
18．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴是短轴的eq \r(2)倍，且右焦点为F(1,0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：y＝k(x＋2)交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为－eq \f(2,3)，求直线l的方程及△FAB的面积．
解 (1)∵长轴是短轴的eq \r(2)倍，
∴a＝eq \r(2)b，
∵焦点F的坐标为(1,0)，
∴c＝1.
结合a2＝b2＋c2，得a＝eq \r(2)，b＝1.
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋2，))
得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
则x1＋x2＝eq \f(－8k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(8k2－2,2k2＋1).
∵线段AB中点的横坐标为－eq \f(2,3)，
∴eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－4k2,2k2＋1)＝－eq \f(2,3).
解得k2＝eq \f(1,4)，即k＝±eq \f(1,2)满足Δ>0，
∴直线l的方程为y＝±eq \f(1,2)(x＋2)．
∵|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(2\r(5),3)，
点F到直线l的距离d＝eq \f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq \f(3\r(5),5).
∴△FAB的面积S△AFB＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(5),3)×eq \f(3\r(5),5)＝1.
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．
(1)求证：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；
(2)若F为线段BC的中点，求平面AEF与平面EFD夹角的余弦值．
(1)证明 ∵PA＝AB，E为线段PB的中点，
∴AE⊥PB.
∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC.
∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB.
又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
∵AE⊂平面PAB，
∴BC⊥AE.
∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
∵EF⊂平面PBC，
∴AE⊥EF，
∴点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形．
(2)解 如图，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接DF，令PA＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)，
设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AF,\s\up6(→))＝0，,m·\(AE,\s\up6(→))＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,x＋z＝0，))取m＝(1，－2，－1)，
设平面DEF的法向量为n＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\(EF,\s\up6(→))＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2b＋c＝0，,a＋b－c＝0，))取n＝(1,2,3)，
∴|cs〈m，n〉|＝eq \f(|－6|,\r(6)×\r(14))＝eq \f(\r(21),7)，
∴平面AEF与平面DEF夹角的余弦值为eq \f(\r(21),7).
20. (12分)已知过原点O的动直线l与圆C：(x＋1)2＋y2＝4交于A，B两点．
(1)若|AB|＝eq \r(15)，求直线l的方程；
(2)x轴上是否存在定点M(x0,0)，使得当l变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0？，若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝eq \r(|CA|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2)＝eq \r(4－\f(15,4))＝eq \f(1,2).
当l的斜率不存在时，d＝1，不符合题意．
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，由点到直线的距离公式得eq \f(|k|,\r(k2＋1))＝eq \f(1,2)，
解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
故直线l的方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x.
(2)存在定点M，且x0＝3.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.
当l的斜率不存在时，由对称性可得∠AMC＝∠BMC，k1＋k2＝0，符合题意；
当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，
整理得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(2,k2＋1)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋1)，
∴k1＋k2＝eq \f(y1,x1－x0)＋eq \f(y2,x2－x0)＝eq \f(2kx1x2－kx0x1＋x2,x1－x0x2－x0)
＝eq \f(2x0－6k,x1－x0x2－x0k2＋1)，
当2x0－6＝0，即x0＝3时，有k1＋k2＝0，
∴存在定点M(3,0)符合题意，即x0＝3.
21．(12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明 由已知可得AE＝2，AD＝1，∠A＝60°.
从而DE＝eq \r(12＋22－2×1×2×cs 60°)＝eq \r(3).
故AD2＋DE2＝AE2，
∴A1D⊥DE，BD⊥DE.
∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角．
又二面角A1－DE－B为直二面角，
∴∠A1DB＝90°，
即A1D⊥DB.
∵DE∩DB＝D，且DE，DB⊂平面BCED，
∴A1D⊥平面BCED.
(2)解 存在．
由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED，以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
过P作PH∥DE交BD于点H，
设PB＝2a(0≤2a≤3)，
则BH＝a，PH＝eq \r(3)a，DH＝2－a，
易知A1(0,0,1)，P(2－a，eq \r(3)a，0)，E(0，eq \r(3)，0)，
∴eq \(PA1,\s\up6(→))＝(a－2，－eq \r(3)a，1)，
∵DE⊥平面A1BD，
∴平面A1BD的一个法向量为eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，0)．
∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，
∴sin 60°＝eq \f(|\(PA1,\s\up6(→))·\(DE,\s\up6(→))|,|\(PA1,\s\up6(→))|·|\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(3a,\r(4a2－4a＋5)·\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
解得a＝eq \f(5,4).
∴PB＝2a＝eq \f(5,2)，满足0≤2a≤3，符合题意．
∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝eq \f(5,2).
22．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点Q(1,0)的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，求证：点R总在直线BM上．
(1)解 由题意知|F1F2|＝2c＝2eq \r(3).
∵椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且＝eq \f(\r(3),2)，
∴＝eq \f(1,2)|F1F2|·|PF1|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×|PF1|＝eq \f(\r(3),2)，
∴|PF1|＝eq \f(1,2)，|PF2|＝eq \r(|F1F2|2＋|PF1|2)＝eq \f(7,2).
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，a＝2.
又c＝eq \r(3)，
∴b＝eq \r(a2－c2)＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明 由题意知A(－2,0)，B(2,0)．
①当直线l与x轴垂直时，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，
则AN的方程是y＝－eq \f(\r(3),6)(x＋2)，BM的方程是y＝－eq \f(\r(3),2)(x－2)，
直线AN与直线x＝4的交点为R(4，－eq \r(3))，
∴点R在直线BM上．
②当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(8k2,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－4,1＋4k2).
eq \(AR,\s\up6(→))＝(6，y0)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2)，A，N，R共线，
∴y0＝eq \f(6y2,x2＋2).
又eq \(BR,\s\up6(→))＝(2，y0)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，
需证明B，M，R共线，
2y1－y0(x1－2)＝0，只需证明2k(x1－1)－eq \f(6kx2－1,x2＋2)·(x1－2)＝0，
若k＝0，显然成立，若k≠0，即证明(x1－1)(x2＋2)－3(x2－1)(x1－2)＝－2x1x2＋5(x1＋x2)－8＝eq \f(－24k2－4,1＋4k2)＋eq \f(5×8k2,1＋4k2)－8＝0成立，这个式子显然成立，
∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．