高中数学选择性必修第一册新人教A版— 圆锥曲线复习试卷（含解析）

圆锥曲线综合复习

一、填空题

1. 已知点为抛物线上一点若点A到该抛物线焦点的距离为3，则__________

2. 如图所示点F是抛物线的焦点，点A、B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是________

3. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为________

4. 已知焦点为F的抛物线上有一点，以A为圆心，为半径的圆被y轴截得的弦长为，则

5. 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率______．

6. 已知双曲线C：的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为______．

7. 抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，且，则______．

8. 设抛物线C：的焦点为为抛物线C上一点，，则的取值范围为______．

9. 关于曲线C：，给出下列说法：
   关于坐标轴对称；
   关于点对称；
   关于直线对称；
   是封闭图形，面积大于．
   则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上

10. 若抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为______ ．

11. 抛物线的一条弦AB过焦点F，且，则抛物线的方程为______ ．

12. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为______ ，若此双曲线C还过点，则双曲线C的方程为______ ．

13. 已知双曲线的离心率为，则 ______ ．

14. 若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______ ．

15. 已知过点的直线l与椭圆相交于两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16. 已知直线l与抛物线相交于两点，且与圆相切．
    Ⅰ求直线l在y轴上截距的取值范围；
    Ⅱ设F是抛物线的焦点，且，求直线l的方程．
    
    
     

17. 已知抛物线C；过点．
    求抛物线C的方程；
    过点的直线与抛物线C交于两个不同的点均与点A不重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
    
    
    
    
    

18. 求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程．
    过点且与椭圆有相同焦点．
     2 中心为原点，焦点在x轴上，离心率为，过的直线交椭圆C于A、B两点，且的周长为16，求椭圆C的标准方程．
    
    
    
     

19. 如右图抛物线顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点，
    Ⅰ求抛物线的方程；
    Ⅱ一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求的值．
    
    
    
    
    
    

曲线C上的动点M到定点的距离和它到定直线的距离之比是1：．
Ⅰ求曲线C的方程；
Ⅱ过点的直线l与C交于两点，当面积为时，求直线l的方程．

圆锥曲线综合复习

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

20. 已知点为抛物线  上一点若点 A到该抛物线焦点的距离为 3，则

【答案】C

【解析】解：点A到该抛物线焦点的距离为3，
，解得．
抛物线的方程为：，
把点代入可得：，解得．
故选：C．
点A到该抛物线焦点的距离为3，可得，解得把点代入抛物线方程解出即可．
本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

21. 如图所示点F是抛物线的焦点，点A、B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】解：抛物线的准线l：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为4，
的周长，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，


故选B．
由抛物线定义可得，从而的周长，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．
 

22. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为

【答案】D

【解析】解：设弦的两端点为，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，
即，
即，
弦所在的直线的斜率为，
故选：D
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．
 

23. 已知焦点为F的抛物线上有一点，以A为圆心，为半径的圆被y轴截得的弦长为，则

【答案】D

【解析】解：由在抛物线上，
，
抛物线的焦点，即，准线方程为，
由抛物线的定义可知，
即圆A的半径．
到y轴的距离，
，
即，解得，
故选D．
运用点满足抛物线的方程可得由m表示，运用抛物线的定义可得，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m的值．
本题考查抛物线的定义和方程的运用，直线和圆相交的弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）

24. 双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率______．

【答案】

【解析】解：双曲线的右焦点为，左顶点为，
右焦点到双曲线渐近线的距离为：，
右焦点到左顶点为的距离为：，
由题意可得，，
即有，即，
即，
由，则有，
解得，．
故答案为：．
求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．
本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
 

25. 已知双曲线C：的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为______．

【答案】

【解析】解：双曲线C：的一条渐近线l的方程为，
由题意可得，
即，
由C的一个焦点到l的距离为，可得
，
解得，
则双曲线的方程为．
故答案为：．
求出双曲线的一条渐近线方程，可得，再由点到直线的距离公式，计算可得，进而得到所求双曲线的方程．
本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
 

26. 抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，且，则______．

【答案】；2

【解析】解：抛物线方程为
可得，得，
所以抛物线的焦点为，准线方程为；
点在此抛物线上，
根据抛物线的定义，可得
即，解之得
故答案为：
根据抛物线的标准方程，可得抛物线开口向右，由得，所以抛物线的准线方程为；由抛物线的定义结合点M坐标可得，解之可得的值．
本题给出抛物线的标准方程，求它的准线方程和满足的点M的坐标着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
 

27. 设抛物线C：的焦点为为抛物线C上一点，，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线
根据抛物线定义可知
当直线MN垂直抛物线准线时，为最小，最小为，
的取值范围为．
故答案为：．
根据抛物线定义可知，判断出当直线MN垂直抛物线准线时，为最小，即可求出的取值范围．
本题主要考查了抛物线的应用当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．
 

28. 关于曲线C：，给出下列说法：
    关于坐标轴对称；      
    关于点对称；
    关于直线对称；  
    是封闭图形，面积大于．
    则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上

【答案】

【解析】解：对于，将方程中的x换成换成方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故对
对于，将方程中的x换为换为x方程变为与原方程不同，故错
对于，在曲线C上任取一点，即点M在圆外，故对．
故答案为：．
将方程中的x换为换为，方程不变，判断出对；通过将方程中的互换方程改变，判断出错；由方程上的点的坐标有界判断出对．
本题考查点关于x轴的对称点为；关于y轴的对称点为；关于原点的对称点；关于的对称点为．
 

29. 若抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为______ ．

【答案】4

【解析】解：抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，
抛物线的开口向上，焦点坐标，
可得，则该抛物线的焦点到准线的距离为：．
故答案为：4．
求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．
本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
 

30. 抛物线的一条弦AB过焦点F，且，则抛物线的方程为______ ．

【答案】

【解析】解：由抛物线的一条弦AB过焦点F，可设，
则，则，
，而．
由．
得，即，
，抛物线方程为
故答案为：．
首先由抛物线的一条弦AB过焦点F，且，可把点的坐标设出来，然后应用圆锥曲线的焦半径公式把和用表示出来，然后解出p的值即可得到抛物线方程．
此题主要考查抛物线标准方程的求法，其中涉及到圆锥曲线的焦半径公式的应用，在高考中属于重点的考点，且有一定的难度希望同学们注意．
 

31. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为______ ，若此双曲线C还过点，则双曲线C的方程为______ ．

【答案】或；

【解析】解：双曲线C与双曲线有共同的渐近线，可得：或，
即：，可得，可得：．
，可得：．
此双曲线C设为：还过点，
可得：，即，
所求双曲线方程为：．
故答案为：或；．
直接求解双曲线的离心率，然后求解双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
 

32. 已知双曲线的离心率为，则 ______ ．

【答案】2或

【解析】解：双曲线，
当焦点在x轴时，，
可得，
双曲线的离心率为，
，
当焦点在y轴时，，
可得，
双曲线的离心率为，
，
可得，即，可得．
故答案为：2或．
直接利用双曲线的方程，求出利用离心率求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
 

33. 若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______ ．

【答案】

【解析】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，设其坐标为，
则有，
双曲线的渐近线方程为：，即，
又由题意，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则有，
即，
则，
则其离心率；
故答案为：．
根据题意，设双曲线的焦点坐标为，求出其渐近线方程，结合题意，由点到直线的距离可得，解可得b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线方程中b的值．
 

34. 已知过点的直线l与椭圆相交于两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为______ ．

【答案】

【解析】解：方法一：设，
由中点坐标公式可知：，
则，两式相减得：，
则，
则直线AB的斜率，则直线l的方程方程，
整理得：，
故答案为：．
方法二：由点M是AB的中点，则设，
则

两式相减得：，
整理得：，
直线AB的斜率，则直线l的方程方程，
整理得：，
故答案为：．
方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程；
方法二：设，代入椭圆方程，作差，由直线l的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
 

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

35. 已知直线l与抛物线相交于两点，且与圆相切．
    Ⅰ求直线l在y轴上截距的取值范围；
    Ⅱ设F是抛物线的焦点，且，求直线l的方程．

【答案】解：Ⅰ设直线l的方程为由直线l与圆相切，
得 ，化简得分
直线l的方程代入，消去y，得  分
由直线l与抛物线相交于两点，得，即．
将代入上式，得．
解得，或分
注意到，从而有，或分
Ⅱ设
由得．
所以分
将代入上式，令，得．
所以，即．
解得舍去．
故．
所以直线l的方程为，或分

【解析】Ⅰ设直线l的方程为由直线l与圆相切，得 ，化简得，直线l的方程代入，消去y，由直线l与抛物线相交于两点，得，即可求直线l在y轴上截距的取值范围；
Ⅱ以，结合韦达定理，即可求直线l的方程．
本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
 

36. 已知抛物线C；过点．
    求抛物线C的方程；
    过点的直线与抛物线C交于两个不同的点均与点A不重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
    
    
    
    
    

【答案】解：由题意抛物线过点，所以，
所以得抛物线的方程为；
证明：设过点的直线l的方程为，即，
代入得，
设，则，
所以

【解析】利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
设过点的直线l的方程为，即，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．
本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

37. 求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程．
    过点且与椭圆有相同焦点．
     2 中心为原点，焦点在x轴上，离心率为，过的直线交椭圆C于A、B两点，且的周长为16，求椭圆C的标准方程．

【答案】解：在椭圆中．
设椭圆方程为，代入点，即分
解得或舍去，
椭圆C的标准方程为：分
设椭圆的标准方程为：，
据题意分
，
椭圆C的标准方程为：分

【解析】根据已知求出焦点坐标，结合椭圆过点，可得答案；
由已知可得，进而可得答案．
本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．
 

38. 如右图抛物线顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点，
    Ⅰ求抛物线的方程；
    Ⅱ一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

【答案】解：Ⅰ设抛物线方程为，
圆的圆心恰是抛物线的焦点，．
抛物线的方程为：；
Ⅱ依题意直线AB的方程为
设，则，得，
．
．

【解析】Ⅰ设抛物线方程为，由已知得即可得抛物线的方程．
Ⅱ依题意直线AB的方程为
设，则，得，
可得．
本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

39. 曲线C上的动点M到定点的距离和它到定直线的距离之比是1：．
    Ⅰ求曲线C的方程；
    Ⅱ过点的直线l与C交于两点，当面积为时，求直线l的方程．

【答案】解：Ⅰ设
由题意可得，，
整理得，
则曲线C的方程为；
Ⅱ当l斜率不存在时，l方程为，
此时l与C的交点分别为，
即有，
则，
由直线l斜率存在，设l方程为，
由，
得，
．
设O到l的距离为d，则，
，
解得．
综上所述，当面积为时，l的方程为或．

【解析】Ⅰ设，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；
Ⅱ当l斜率不存在时，l方程为，求得的坐标，以及的面积；由直线l斜率存在，设l方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．
本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．