高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式精品同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式精品同步练习题，共8页。

1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
C [由|AB|＝ eq \r(（a＋2）2＋（3＋1）2) ＝5，可知(a＋2)2＝9.
∴a＝1或－5.]
2．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2，0)或(4，6) B．(2，0)或(6，4)
C．(4，6) D．(0，2)
A [设B(x，y)，由题意得 eq \f(y－3,x－3) × eq \f(4－3,0－3) ＝－1， eq \r(（0－3）2＋（4－3）2) ＝ eq \r(（x－3）2＋（y－3）2) ，化简得3x－y－6＝0，(x－3)2＋(y－3)2＝10，
联立解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，)) ∴B(2，0)或(4，6).]
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 eq \r(3) B．3＋2 eq \r(3)
C．6＋3 eq \r(2) D．6＋ eq \r(10)
C [∵|AB|＝ eq \r(（－1－2）2＋（0－3）2) ＝3 eq \r(2) ，|BC|＝3，
|AC|＝ eq \r(（2－2）2＋（0－3）2) ＝3，∴△ABC的周长为6＋3 eq \r(2) .]
4．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(10,a))) ，则线段AB的长为( )
A．11 B．10
C．9 D．8
B [依题意a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)，B(－2y，y)，故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,2x＋y＝10，)) 则A(4，8)，B(－4，2)，
所以|AB|＝ eq \r(（4＋4）2＋（8－2）2) ＝10.]
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A． eq \r(5) B． eq \r(6)
C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(5)
A [联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，)) 解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离
d＝ eq \r(m2＋n2) ＝ eq \r(（5＋2n）2＋n2) ＝ eq \r(5（n＋2）2＋5) ≥ eq \r(5) ，
当n＝－2，m＝－1时等号成立．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 eq \r(5) .]
6．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a)) ，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
C [∵|AC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a－0))\s\up12(2)) ＝ eq \r(3) |a|，|BC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)－a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a－0))\s\up12(2)) ＝|a|，|AB|＝|a＋a|＝2|a|，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．]
7．已知A(1，4)，B(8，3)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值的点P的坐标是( )
A．(4，0) B．(5，0)
C．(－5，0) D．(－4，0)
B [∵A(1，4)关于x轴的对称点为A′(1，－4)，
∴A′B所在的直线方程为y＝x－5，令y＝0得x＝5，
∴P(5，0).]
8．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
5 [易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，
即△APB为直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤ eq \f(|PA|2＋|PB|2,2) ＝ eq \f(|AB|2,2) ＝ eq \f(10,2) ＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．]
9．已知点A(－1，0)，B(cs α，sin α)，且|AB|＝ eq \r(3) ，则直线AB的方程为__________________．
y＝ eq \f(\r(3),3) x＋ eq \f(\r(3),3) 或y＝－ eq \f(\r(3),3) x－ eq \f(\r(3),3) [|AB|＝ eq \r(（cs α＋1）2＋sin2α)
＝ eq \r(2＋2csα) ＝ eq \r(3) ，
所以cs α＝ eq \f(1,2) ，sin α＝± eq \f(\r(3),2) ，
所以kAB＝± eq \f(\r(3),3) ，即直线AB的方程为y＝± eq \f(\r(3),3) (x＋1)，所以直线AB的方程为y＝ eq \f(\r(3),3) x＋ eq \f(\r(3),3) 或y＝－ eq \f(\r(3),3) x－ eq \f(\r(3),3) .]
10．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．
2 [在直线x＋2y－3＝0上任取两点P1(1，1)，P2(3，0)，则P1，P2关于点A的对称点P1′，P2′都在直线ax＋4y＋b＝0上，
∵易知P1′(1，－1)，P2′(－1，0)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－4＋b＝0，,－a＋b＝0，)) ∴b＝2.]
11．已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，D( eq \f(12,5) ， eq \f(16,5) )，点P在线段CD垂直平分线上，求：
(1)线段CD垂直平分线方程；
(2)|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标．
解 (1)由C(4，0)，D( eq \f(12,5) ， eq \f(16,5) )，
得线段CD的中点M( eq \f(16,5) ， eq \f(8,5) )，
kCD＝ eq \f(\f(16,5)－0,\f(12,5)－4) ＝－2，∴线段CD的垂直平分线的斜率为 eq \f(1,2) ，
∴线段CD垂直平分线方程为y－ eq \f(8,5) ＝ eq \f(1,2) (x－ eq \f(16,5) )，
即x－2y＝0.
(2)设P(2t，t)，
则|PA|2＋|PB|2＝(1－2t)2＋(1－t)2＋(2－2t)2＋(2－t)2＝10t2－18t＋10.
当t＝ eq \f(9,10) 时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，即P( eq \f(9,5) ， eq \f(9,10) ).
12．已知两定点A(－3，5)，B(2，8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．5 eq \r(13) B． eq \r(34)
C．5 eq \r(5) D．2 eq \r(26)
D [由题意知，两定点A(－3，5)，B(2，8)在直线x－y＋1＝0同侧，动点P在直线x－y＋1＝0上．
设点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为C(a，b)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a－3,2)－\f(5＋b,2)＋1＝0，,\f(b－5,a＋3)＝－1，)) 解得a＝4，b＝－2，∴C(4，－2)，
∴|PA|＋|PB|的最小值为|BC|＝
eq \r(（4－2）2＋（－2－8）2) ＝2 eq \r(26) .]
13．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上分别找一点M和N，使△AMN的周长最短，则最短周长为( )
A．4 B．2 eq \r(5)
C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(2)
B [设点A关于直线y＝x的对称点为B(x1，y1)，依题意可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,2)＝\f(x1＋3,2)，,\f(y1－1,x1－3)＝－1，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝3，)) 即B(1，3)，同样可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示，则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B，M，N，C共线时，△AMN的周长最短，
即|BC|＝ eq \r(（1－3）2＋（3＋1）2) ＝2 eq \r(5) .]
14．若A( eq \r(2) ，－ eq \r(2) )，B(cs θ，sin θ)(θ∈R)，则|AB|的最大值是________．
3 [|AB|＝ eq \r(（cs θ－\r(2)）2＋（sin θ＋\r(2)）2)
＝ eq \r(4－2\r(2)cs θ＋2\r(2)sin θ＋cs2θ＋sin2θ)
＝ eq \r(5＋4sin （θ－\f(π,4)）) ，
当sin (θ－ eq \f(π,4) )＝1即θ＝2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z时，|AB|取得最大值3.]
15．若直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
x＋3y－5＝0或x＝－1 [当AB∥l时，有k＝kAB＝－ eq \f(1,3) ，
直线l的方程为y－2＝－ eq \f(1,3) (x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l过AB的中点(－1，4)时，
直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]
16．如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
证明 如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)(－b